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【表面积怎么算】图形与几何之表面积

一.概念描述

现代数学:往《数学辞海·第一卷》 一书中没有表面积的明确定义,但是有“全面积” 一说,即刻画表面积大小的数量及其计算公式。

棱柱、棱锥、棱台的全面积都是指:刻画其表面积大小的一个数量及其计算方法。它们全面积的计算方法就是其侧面积与底面积的和。

圆柱的全面积是刻画圆柱表面积大小的一个数量及其计算公式。直圆柱的侧面积与底面积的和为它的全面积。如果直圆柱的底面半径为r,高为h,那么它的全面积为S=2πr(h+r)。斜圆柱的侧面积和它的两底椭圆面积的和是它的全面积。设母线长为l,直截面圆周长为C,底面椭圆的长短半轴为a、b,斜圆柱全面积为S=Cl+2πab。

圆锥的全面积是刻画圆锥表面积大小的一个数量及其计算公式。圆锥的全面积等于它的侧面积与底面积的和,其计算公式为S=πr(l+r)。

圆台的全面积是刻画圆台表面积大小的一个数量及其计算公式。圆台的全面积等于它的侧面积与两底面积的和,所以S=π(rl+r'l+r2+r’2)。其中,l是圆台母线的长,r’和r分别是圆台上、下底面圆的半径。

小学数学:所有立体图形所能触摸到的面的面积之和,是这个图形的表面积。在小学阶段,我们学习的长方体和正方体的表面积,就是指它们6个面的面积之和。圆柱的表面积就是指它的侧面积和两个底面积之和。圆锥的表面积小学不做研究。

二.概念解读

小学阶段所涉及的长方体、正方体、圆柱的表面积其实都是它们的底面积和侧面积之和。当我们沿着高将长方体、正方体、圆柱的侧面展开,就会发现它们的侧面展开后都是一个长方形,因此,表面积就是学生已经学习过的长方形、正方形、圆形等几个平面图形面积的组合。

要说明的是,我们在这里所提到的表面积,是指在理想状态下,可以触摸到立体图形的每一个面,求出各个面的面积之和。

在小学教材中,还有一些内容,如磁带盒(或者是火柴盒、香皂盒)的包装问题、纸箱问题等。这些问题都不是在求一个立体图形真正的表面积,而是对表面积的拓展应用。

例如,有4盒完全相同的长方体录音带,用哪种方式包装最省料?(如下图)

又如纸箱问题:把长50厘米、宽30厘米、高20厘米的水果箱(如下图中的左图)的上、下盖打开后是个长方体纸筒(如下图中的右图),做这个水果箱至少需要多少纸板?

三.教学建议

在对表面积的研究中,产生了许多优秀的教学案例。关于长方体、正方体以及圆柱的表面积可以采取相同的教学思路,下面以长正方体表面积为例提供以下几种教学设计作为参考:

(1)“包装式”的教学设计

首先,教师要引导学生思考为立体图形穿上鲜艳的外衣(可以是涂色,也可以是贴彩纸),这件外衣怎么穿?在这个过程中,学生会主动说明要想穿上鲜艳的外衣,需要把立体图形的哪几个面进行包装。教师再引导学生观察、发现:它们刚好在立体图形的表面,是这几个面围成了这个立体图形,从而使学生认识到,这几个面就是立体图形的表面,它们的大小就是这个立体图形的表面积。

(2)“化立体为平面”的教学设计

人教版、北师大版、北京版等各种版本的教材中,都增加了“立体图形的展开图”这个教学内容。立体图形的平面展开图有利于学生空间观念的发展,能够帮助学生在三维与二维的相互转化中理解立体图形表面枳。课前,教师可以让学生准备好所需的立体图形;课中,引导学生沿着立体图形的棱剪开,将立体图形转化为平面图形。引导学生观察平面展开图,学生就会发现:是这些展开后的平面图形围成了立体图形。这些平面图形都是已经学过的几何图形,计算这些平面图形的面积之和就可以得到立体图形的表面积。

(3)“化平面为立体”的教学设计

除了以上提到的两种设汁,教师还可以采取做模型的方式进行教学。教师可为学生提供一些纸板,然后提出一起来做个长方体(正方体或圆柱)模型。在做的过程中,学生会通过自己的实践操作发现,做一个长方体,只要准备好数据合适的6个长方形就可以了,再把这6个长方形按一定的方式用透明胶带围成一个长方体。学生在思考数据、动手剪长方形、利用胶带围长方体的这个过程中,对立体图形的表面已经有了充分的认识。学生在自己动手操作的过程中,非常清晰地认识到长方体表面的每一个面都是长(正)方形,在计算所需纸板的总面积时只需计算这几个长(正)方形的面积总和就可以了,也就是这个长方体的表面积。

四.推荐阅读

《数学辞海·第一卷》(裘光明,山西教育出版社,2002)

该书第266页对“体积与表面积”的相关概念有详细的解读。

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