以前做过一个调查:数学题为“123”……。99 100是多少?”“我分别发给小学生、中学生、大学生,当然不同水平的学生条件不同,但从他们的回答中可以看出他们思维方式的差异。(大卫亚设)。
1、小学生
题:1+2+3+…+99+100=( )
大部分小学生
1+2=3
3+3=6
6+4=10
...
4950+100=5050
的确,这样能算出答案,但是存在两个明显的问题:
其一,历经99次算法,出现计算错误的几率增加,一步错,满盘皆输;
其二,耗时长,即使算出了正确答案,如果是在考试遇到,那么可能没算出答案就要交卷了!
有些比较懒的或者说比较皮的学生,可能会说用计算器(或手机里的计算器),按一按不就出来了,不得不说,这也是一个方法,但是100个数字按下来,也是挺累的,而且时间不一定会比直接计算快,只能说这类学生善于投机取巧,但这是不良习惯,因为不勤于动手和动脑!
2、中学生
题:1+2+3+…+99+100=( ),要求2种方法以上,并要求写明计算过程
对于中学生(含初中、高中),大部分一看就知道是等差数列,然后就用等差数列公式代进去计算,(首项+末项 )×项数÷2即有(1+100)×100÷2=5050或者项数×首项+项数×(项数-1)÷2=100×1+100×(100-1)÷2=5050,大部分就用这2种方法。
还有一些动脑筋的学生就提出,每10个数作为一个周期,每个周期中都有1、2、3、…、9、10,先计算每一个周期的和,再求和。
即1+2+3+…+10=55
11+12+13+…+19+20=10+1+10+2+10+3+…+10+9+10+10=10×10+1+2+3+…+10=155
21+22+23+…+29+30=20+1+20+2+20+3+…+20+9+20+10=20×10+1+2+3+…+10=255
……
91+92+23+…+99+100=90+1+90+2+90+3+…+90+9+90+10=90×10+1+2+3+…+10=955
所以就为55+155+255+355+…+855+955=5050
同理,有个别同学就把10、20、…、90、100这些剔除
等于看成有10个1+2+3+…+9和10个10+20+…+90
这种方法等于就是自己找规律,小学也有找规律,但是都是比较简单的数字,数字越多,数值越大,蕴含的规律越多,到了中学,思维开拓了,自然也就能想出更多方法。
3、大学生
题:1+2+3+…+99+100=( )
(1)用2种方法计算;(2)结合高等数学,求极限;(3)设计一个数学模型;(4)编写一个程序,对于1+2+3+…+n,把n从100到10000的结果生成在一个文档中。
到了大学,单纯计算这个答案已经不是他们的目的了,他们旨在计算出这个答案的方法,以及延伸出的数学知识和数学应用,
如果要频繁计算1加到100乃至1000等的答案,那么编个程序,可能答案就都出来了,算都不用;
万一这个不是1加到100呢,是到无穷大呢,这个答案可能就涉及到级数和积分了
题设本身都是围绕1+2+3+…+99+100=( )展开,但是不同层次的学生对于它的思考和见解是不一样的,这就是思维决定的,因为随着思维层次的提高,那么解决一个问题的速度和方式都会有一个质的提高!
当然,对于一些学生都是单纯给出一个题1+2+3+…+99+100=( ),得出的结论只有一个做题的速度差别而已;但是在调查的过程中,也发现一些学生,即使是大学生,思维也比较死板,这就与学习习惯有很大的关系,当然,有些学生是纯粹的懒而已。
总之,不同层次的学生,见识不同,思维存在差别,这是可以理解的;但是同一层次的学生,思维也存在差异,这与学生的资质、学习习惯、状态、思考时间等息息相关,但是往往思维越好的学生,所表现出的其他方面也都比较优秀,因此,可以说思维决定一个人的高度,也一定程度上反映出一个人的能力和习惯。