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柳暗花明又一村
——读《素数之恋》有感
作者：王进
作品编号：016
投稿时间：2019.7.12
对自然数的研究可能诞生于文明开始之时，之后，人们学会了分类，把除0,1外的自然数按因数的多少分为了素数和合数，于是，很多数学家便踏上了一个艰苦而美妙的漫长旅程，即对素数分布之谜的探索。
从古希腊先哲欧几里得对素数无穷多绝妙的反证法，到20世纪70年代比利时数学家德利涅证明了代数上的韦伊猜想，再到同时期蒙哥马利-奥德利兹克定理，《素数之恋》讲诉了素数的前世今生。本书的作者是美国数学科普作家约翰·德比希尔（John Derbyshire），他以丰富的学识和严谨的态度写出了这部科普书籍，全书几乎不涉及到高等数学和复变函数，并不时出现幽默的话语，极大的改善了本书的可读性和扩充了它的阅读对象。
小学我们就接触到了素数，很多人也听到过一个在中国很知名有关于素数的猜想——哥德巴赫猜想，但是在数学家眼中，关于素数更重要的问题是黎曼猜想，而这个问题，也是《素数之恋》从始至终贯穿的主题。在古希腊爱琴海灿烂的阳光下，数学家们便对素数有了不少认识，欧几里得利用所有素数连乘再加一，巧妙的反证了素数个数必为无穷，简洁漂亮令人赞叹。全书第一章始于一个有趣的“纸牌游戏”，两张纸牌叠在一起，上面一张纸牌最多可以推多远而不掉下来，答案显而易见是1/2个纸牌宽度，如果是三张叠在一起，最上面那张纸牌显然最多可以推1/2+1/4个宽度，如果是有n张呢，那可以推1/2+1/4+1/6+···+1/2（n-1）个宽度，这个距离是无穷大吗？显然，提出公因子1/2，学过一点微积分的人都知道这是非常特殊也很重要的一个级数，称之为调和级数。调和级数是不收敛的，也就是当n趋于无穷大时，这个式子的值也趋于无穷大，但是，虽然它的值是发散的，但增加的非常之慢，100张纸牌的总伸出量约2.58869个纸牌宽度，而10000亿张纸牌也仅仅只能伸出约14张纸牌的宽度。读到这里，包括我在内的很多读者或许都会有这样一个疑问，调和级数会和素数有啥关系？而他们的联系，正是暗合了我的标题，柳暗花明又一村，表面上似乎没什么联系的东西有时候也会蕴含有巨大的能量。
黎曼
任何牵涉到素数的问题一不下心都会变得巨难无比，可能是因为对素数的很多性质人们还不太清楚，在漫长的数学历史中，第一次对素数的认识取得很大突破的是素数定理（PNT）的发现，而素数定理也是本书前半部分花了很大篇幅讲述的，直接发现素数的分布规律似乎很难，那能不能发现其他不那么精确的统计规律呢？有下面一张表：
从上面的这张表能发现什么呢？可能我们一般人看到都会一头雾水，但是高斯、勒让德等人就从中发现了天机。那就是小于N的素数个数是服从规律的，如下表所示：
此时已经很明朗了，lnN与N/π(N)的大小很接近，写作lnN ~ N/π(N)，改写一下，就是素数定理：
素数定理另一个更重要误差更少的表达：
素数定理当时被高斯、勒让德发现时，还是猜想，之后正是在黎曼猜想的启发下证明了素数定理，由此可见黎曼猜想的威力。
现在回过头看前面提到的调和级数，此时开始由此级数引出的一些东西开始展露出巨大的力量。调和级数确实不收敛，但他收敛的如此之慢，事实上，他和lnx的大小差不多，将调和级数稍作扩展，有这样一类在国内工科高数课本上称之为p级数的重要级数，
现在我们知道p≤1（等于1时是调和级数）时级数发散，p＞1时级数收敛。1735年，年轻的欧拉做出了他生涯第一个大的成果，解出了著名的巴塞尔问题（即p=2时）的准确值，结果竟然是惊人的
。稍微扯远一点，笔者第一次在高中竞赛书上看到这个结果时，感到十分的惊奇，和圆根本无关的问题居然会出现π，之后知道泰勒级数后，才明白得出这个结果需要涉及到三角函数，于是，π的出现也不算惊奇了。看，又是两个表面上无关的东西产生了很深的联系。巴塞尔问题打开了通往黎曼ζ函数的大门，而黎曼ζ函数就是黎曼猜想的关注对象。下面就是黎曼ζ函数：
当然，此时这种表达式s的定义域并不是所有的复数甚至不是所有的实数，例如，当s为负数时，就不能简单的由上式计算，不过可以看到，在某个定义域上（复平面实部＞1的区域），黎曼ζ函数就是这么简单，有时候，可能最简单就是最复杂。
欧拉
那么，黎曼ζ函数和素数有什么关系呢，作者德比希尔循循善诱，花费了几乎大半部分书的内容来仔细说明了它，通过“金钥匙”（欧拉乘积公式），黎曼ζ函数与素数产生了联系，如下就是这个金钥匙：
上式中，p是指素数，这个式子是通过巧妙的埃拉托色尼筛法得出的。
在金钥匙中，黎曼ζ函数与素数建立了关系，但是之后如何使用呢，欧拉的工作就到此为止了，作为复分析的创始人之一，黎曼以其惊人的才华将黎曼ζ函数的定义域扩展到了整个复数，然后提出了著名的黎曼猜想。
黎 曼 猜 想
ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2
在此我不将黎曼ζ函数在整个复数域上的式子写出来，事实上全书也没有给出那个表达式，那个式子有点吓人，已经超过了大多数人的理解范围。每一个负偶数，如-2，-4，-6，-8等都是它的零点，这不是黎曼猜想需要考虑的，按专业术语，这些是平凡零点。除去这些实数的零点，其他复数形式的零点正是黎曼考虑的，黎曼猜想正是说明了所有那些非平凡零点都在复平面实部为1/2的那条直线上，都有形如1/2+a*i的形式，事实上，前三个非平凡零点是1/2+14.134725i，1/2+21.022040i，1/2+25.010856i，确实都是这种形式。下图显示了在临界线（实部为1/2的那条线）从a=0向上时，黎曼ζ函数的函数值，从ζ(1/2)即最左边的约-1.46035处开始出发，开始连续不断画出类似圆的曲线不断穿过零点的样子。
图1 临界线上的那些点的函数值
临界线上是不是包含有所有的非平凡零点呢（即黎曼猜想）？我们不得而知，不过在1914年，哈代（就是赏识了传奇数学家拉马努金的那位）证明了ζ函数确实有无穷多个零点在临界线上。我们知道了“金钥匙”，知道了黎曼ζ函数，进一步知道了黎曼猜想，可是我们还是不知道黎曼猜想和素数的分布有什么关系，在1901年，就是证明PNT后的五年，瑞典数学家冯·科赫（Helge von Koch）证明出了一个结果，如果黎曼假设成立，那么有：
上式中，O是确定函数界限的一种方式，由此可以看出，黎曼猜想对素数定理的余项给出了一个很精确的估计，素数定理只是黎曼猜想一个弱的推论。
作为一篇读书感言，本应该更通俗简略的讲述一下文章内容就可以了，不过本书作为一篇极优秀的科普类文章，如果不把里面的精华拿出来说一下那太可惜了，没办法，必须涉及到一些微积分知识，接下来，让我们拧动金钥匙，走进1859年黎曼论文的核心。
π(x)是素数计数函数，上文的一张表中已经给出了他的部分值，如何联系ζ函数和π(x)，这乍一看并没有任何关系的两个函数，在欧拉金钥匙的联系下，紧紧纠缠在了一起。
图2 素数计数函数
π(x)是一个阶梯函数，在每个跳跃点（即素数）取一半的值，然后引入了另一个阶梯函数——J函数，下面是J函数的定义，
看，这里的每一项的系数也是不是像调和级数，J函数会在每一个素数，素数的平方，素数的立方......上跳跃。利用默比乌斯反演，我们得到了用J(x)表达的π(x)。
注意有些项已经没有了，并且正负号也不同，参见默比乌斯函数。然后说了很久的金钥匙终于拧动了，对金钥匙两边取对数并用级数展开，得到了一个无穷和的无穷和，对其中每一项都可以用一个积分式来表示，并不复杂。然后对J(x)进行积分，显然，这个积分趋于无穷大，于是用x-s-1乘以J(x)，并依次选取无穷多个素数分成无穷多个条带进行积分，然后和金钥匙展开后的类比，得到了微积分形式的金钥匙，如下所示：
上面的式子将黎曼ζ函数和J(x)联系了起来，而π(x)又可以由J(x)表示出来，显然，黎曼ζ函数和素数分布联系了起来，下面我直接给出结论:
就是这个看着很丑陋吓人的式子，是1859年黎曼论文的主要结果，你可能会想ζ函数去哪了？其实他隐藏在第二项中了，ρ就是ζ函数的非平凡零点。于是，现在我们计算π(x)可以不用一个一个找出素数累加，又多了一种方法，直接用上面的几个式子算出来。
到此，全书的精彩论文接近结束，在其中也穿插了代数学和物理学上的进展，黎曼猜想甚至与量子力学也联系了起来，又是“柳暗花明又一村”的篇章，虽然这些路径并没有彻底解决这个猜想，但同样释放出巨大的能量远超黎曼那个时代了。
《素数之恋》成书于2002年，距离现在已经过去了17年，黎曼猜想也有了不少新进展，不时听说有人宣称证明了它，但克雷数学研究所的100万奖金还没发出去也就说明还没有取得一致公认的证明。去年9月，知名数学家阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想，引起了轩然大波，正是在那股科普热潮下，我买下了这本黎曼猜想的经典科普读物仔细品读了一番。笔者是工科研究生，读起来相对轻松，除了极少部分的微积分外，高中生慢慢品读也不会有压力，读完此书，除了感慨这些天才的杰出创造力外，也对平时的科研生活有些许帮助，有时候，往往看上去毫无联系的的东西也会有巨大的威力，要有充分的想象力和勇气去接触看着可能没什么联系的问题。学习时，需要多接触其他知识和想法，一条路走不通不代表这个课题有问题，可以试试其他路径，如把结构自振反应引入到地震工程中就产生了最重要的反应谱理论。善于联系，从多角度思考问题，跳出条条框框，有时候也不能太囿于感觉，直觉不一定正确，不能乍一看没什么关系，就不去接触也不去思考了。
人们开始有素数这个概念很早很早，经历了几千年的发展，对素数的认识已大大加深，它最简单又最困难，无规律而又有规律，它有着众多表述简单的命题吸引了很多人，也因这些看似简单实则巨难的问题让众多数学家耗尽心血。如梦亦如幻，如露亦如电，素数还有着众多的秘密隐藏在极深的未知处，需要一代又一代数学家拂开杨柳枝，踏过荆棘花，找到理想的桃花源。
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