鲁达 一.O(logn)代码小证明
我们先来看下面一段代码:
int cnt = 1; while (cnt < n) { cnt *= 2; //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 }由于cnt每次在乘以2之后都会更加逼近n，也就是说，在有x次后，cnt将会大于n从而跳出循环，所以$2 ^ x = n$, 也就是$x = log_2n$，所以这个循环的复杂度为O(logn)
二.典型时间复杂度
$c$ 常数 $logN$ 对数级 $log ^ 2N$ 对数平方根 $N$ 线性级 $NlogN$ $N ^ 2$ 平方级 $N ^ 3$ 立方级 $2 ^ N$ 指数级由此我们可以得知，$logN$的算法效率是最高的
三.常见的$logN$算法
1.对分查找
- (int)BinarySearch:(NSArray *)originArray element:(int)element { int low, mid, high; low = 0; high = (in - 1; while (low <= high) { mid = (low + high) / 2; if ([originArray[mid] intValue] < element) { low = mid + 1; } else if ([originArray[mid] intValue] > element) { high = mid -1; } else { return mid; } } return -1; }2. 欧几里得算法
- (unsigned int)Gcd:(unsigned int)m n:(unsigned int)n { unsigned int Rem; while (n > 0) { Rem = m % n; m = n; n = Rem; } return m; }3.幂运算
- (long)Pow:(long)x n:(unsigned int)n { if (n == 0) { return 1; } if (n == 1) { return x; } if ([self isEven:n]) { return [self Pow:x * x n:n / 2]; } else { return [self Pow:x * x n:n / 2] * x; } } - (BOOL)isEven:(unsigned int)n { if (n % 2 == 0) { return YES; } else { return NO; } }四.库里的log函数
在$$库里有log()函数和log2()函数
log()函数的底数默认为自然对数的底数e
log2()函数的底数很显然就是2咯qwq
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; //#define DEBUG(x) cerr << #x << "=" << x << endl int main() { cout << log(M_E) << endl; cout << log2(2) << endl; return 0; }然后我们就会得到
1 1的结果
$$库里有两个常量M_E和M_PI M_E代表的是自然对数的底数e M_PI代表的是圆周率π
最后，也是最基本的最重要的
当题目的数据范围达到了$10^{18}$的时候，很显然就要用O(logn)的算法或数据结构了