请问gamma函数如何求导,gamma函数对x求导

上一次我们一起学习了决策树之 GBDT 算法 - 回归部分，今天我们继续学习该算法的分类部分。使用 GBDT 来解决分类问题和解决回归问题的本质是一样的，都是通过不断构建决策树的方式，使预测结果一步步的接近目标值。

因为是分类问题，所以分类 GBDT 和回归 GBDT 的 Loss 函数是不同的，具体原因我们在《深入理解逻辑回归》一文中有分析过，下面我们来看下分类 GBDT 的 Loss 函数。

Loss 函数

和逻辑回归一样，分类 GBDT 的 Loss 函数采用的也是 log Likelihood：

其中，n 表示有 n 条样本，y_i 为第 i 条样本的观察值（或目标值），该值要么是 0，要么是 1； p_i 为模型对第 i 个样本的预测值，它是一个取值范围为 [0,1] 之间的概率，现在我们来看下该 Loss 是否可导，只用看"求和符号∑" 里面的部分是否可导即可，如下：

把上面式子中的 p 用 log(odds) 来表示，即用 log(odds) 来替换 log(p/(1-p))，用 e^log(odds)/(1+e^log(odds)) 来替换 p（对 log(odds) 不熟悉的同学，可以先阅读深入理解逻辑回归一文），如下：

我们再对其求导：

右边的 e^log(odds)/(1+e^log(odds)) 正好又是 p，所以 l'(log(odds)) 又等于 -y_i + p_i，注意，这两种形式后面都会用到。可见，这个 loss 函数是可导的，该分类算法可以用梯度下降来求解。

构建分类 GBDT 的步骤依然是下面两个：

初始化 GBDT
循环生成决策树

下面我们来一一说明：

初始化 GBDT

和回归问题一样，分类 GBDT 的初始状态也只有一个叶子节点，该节点为所有样本的初始预测值，如下：

上式中，F 代表 GBDT 模型，F_0 为模型的初始状态，该式子意为：找到一个 gamma，使所有样本的 Loss 最小，在这里及下文中，gamma 都表示节点的输出，且它是一个 log(odds) 形式的值，在初始状态，gamma 又是 F_0。

我们还是用一个最简单的例子来说明该步骤，假设我们有以下 3 条样本：

我们希望构建 GBDT 分类树，它能通过「喜欢爆米花」、「年龄」和「颜色偏好」这 3 个特征来预测某一个样本是否喜欢看电影，因为是只有 3 个样本的极简数据集，所以我们的决策树都是只有 1 个根节点、2 个叶子节点的树桩（Stump），但在实际应用中，决策树的叶子节点一般为 8-32 个。

我们把数据代入上面的公式中求 Loss：

为了使其最小，我们对它求导，并令结果等于 0：

于是初始值 p=2/3=0.67，gamma=log(2)=0.69，模型的初始状态 F_0(x) 为 0.69。

说了一大堆，实际上你却可以很容易的算出该模型的初始值，它就是正样本数比上负样本数的 log 值，例子中，正样本数为 2 个，负样本为 1 个，那么：

循环生成决策树

和回归 GBDT 一样，分类 GBDT 第二步也可以分成四个子步骤：(A)、(B)、(C)、(D)，我们把它写成伪代码：

for m = 1 to M: (A) (B) (C) (D)

其中 m 表示第 m 棵树，M 为树的个数上限，我们先来看 (A)：

(A)：计算

此处为使用 m-1 棵树的模型，计算每个样本的残差 r_im，这里的偏微分实际上就是求每个样本的梯度，因为梯度我们已经计算过了，即 -y + p，那么 r_im = y_i - p_i，于是我们的例子中，每个样本的残差如下：

这样，第 (A) 小步就完成了。

(B)：使用回归树来拟合 r_im，回归树的构建过程可以参照《CART 回归决策树》一文。我们产生的第 2 棵决策树（此时 m=1）如下：

(C)：对每个叶子节点 j，计算

意思是，在刚构建的树 m 中，找到每个节点 j 的输出 gamma_jm，能使该节点的 Loss 最小。

左边节点对应第 1 个样本，我们把它带入到上式得：

对上式直接求导较为复杂，这里的技巧是先使用二阶泰勒公式来近似表示该式，再求导：把 gamma 作为变量，其余项作为常量的二阶泰勒展开式如下：

这时再求导就简单了：

Loss 最小时，上式等于 0，于是我们可以求出 gamma

可以看出，上式的分子就是残差 r，下面我们算一下分母，即 Loss 函数的二阶微分：

我们知道，e^log(odds)/(1+e^log(odds)) 就是 p，而 1/(1+e^log(odds)) 是 1-p，所以

L''=p(1-p)，那么该节点的输出就是

接着我们来计算右边节点的输出，它包含样本 2 和样本 3，同样使用二阶泰勒公式展开：

对上式求导，令其结果为 0，可以计算 gamma 为

这样，(C) 步骤即完成了。可以看出，对任意叶子节点，我们可以直接计算其输出值：

(D)：更新模型 F_m(x)

仔细观察该式，实际上它就是梯度下降——「加上残差」和「减去梯度」这两个操作是等价的，这里设学习率 v 为 0.1，则 3 个样本更新如下：

可见，样本 1 和样本 3 都离正确的方向更进了一步，虽然样本 2 更远了，但我们可以造更多的树来弥补该差距。

最终，循环 M 次后，或总残差低于预设的阈值时，我们的分类 GBDT 建模便完成了。

总结

本文主要介绍了分类 GBDT 的原理，具体有以下 2 个方面：

分类 GBDT 的 Loss 函数
构建分类 GBDT 的详细步骤

本文的公式比较多，但稍加耐心，你会发现它其实并不复杂。

参考：

Gradient Boost Part 4: Classification Details (http://1t.click/b57m)
泰勒公式 (http://1t.click/b57p)

决策树之 GBDT 算法 - 回归部分
深入理解逻辑回归算法（Logistic Regression）
决策树算法之 CART（Classification and Regression Trees）上
决策树算法之 CART（Classification and Regression Trees）下

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Loss 函数

初始化 GBDT

循环生成决策树

总结

责任编辑: 鲁达

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