鲁达 导读
在通信、信号处理和更广泛的电气工程领域，信号是任意的、随时间变化的或者随空间变化的量。
信号可分为连续时间信号和离散时间信号：
离散信号或离散时间信号是一种时间序列，可能是从连续时间信号中采样出来。
图1 连续时间信号与离散时间信号
周期信号与非周期信号。
一个信号周期为T，那么定义其基频f0=1/T，谐频kf0，k=1,2,3...
任何周期信号（并不是严格意义上的任何）都可以由不同谐振频率kf0信号，相叠加而成，这就是傅里叶级数展开。
图2 周期信号与非周期信号
一个信号有一个或多个频率，可以从两个不同的角度来观察：时域和频域。
图3 信号的时域与频域
本文就是介绍如何进行频域的分析，当然使用计算机啦。
通过计算机中的ＭATLAB软件自带的FFT函数分析频谱。
文中举得例子看似简单，但同学们如果真正要理解，其实是需要一定信号处理知识的积累的。
四种傅里叶变换
再来看一下经典的图4，我认为学习通信或者数字信号处理，必须要搞明白各种不同的"傅里叶"。
图4 四种经典的傅里叶变换
图4(a)是最为熟悉的傅里叶变换，针对非周期、连续的信号，其变换后的频谱为连续的、非周期的。公式为
图4(b)是傅里叶级数，针对周期、离散的信号，变换后的信号是离散的、非周期的频谱。
图4(c)是离散时间傅里叶变换，针对离散、非周期的信号，变换后的信号是周期的、连续的频谱。
图4(d)是离散傅里叶级数，针对离散的、周期的信号，变换后的频谱是离散的、周期的。
图5 四种傅里叶变换总结
四种傅里叶变换的可以如图5总结。
我们发现：
- 时域的连续，总是对应着频域的非周期；
- 时域的离散，总是对应着频域的周期；
反之亦然。
其中FT、FS、DTFT至少有一个域不是离散的信号，所以不适合计算机去处理。
DFS满足时域和频域都是离散的要求，但其时域为无限长的周期序列。
图6 DFS到DFT
所以我们只要取其中N个点，定义为主值序列，然后用来求取傅里叶变换。
这样的傅里叶变换就是DFT，离散傅里叶变换，其公式为：
DFT的运算量大，不利于大数据量的计算。
图7 DFT到FFT
此时，就出现了快速傅里叶变换，即FFT。
FFT是DFT的快速算法，可以节省大量的计算时间，其本质仍然是DFT。
DFT的时域与频域的联系
仔细观察图4的DFS系列，主值序列有N个点。
在时域中，如果离散信号是以T1为周期向两边延拓，那么频域的谱间隔为f1=1/T1；
同样的，如果在频域是以fs为周期向两边延拓，那么时域的信号间隔为Ts=1/fs；
所以，我们可以得出fs/f1=N；
换个角度看。
X[k]算出来的是一个序列值，那么这个序列值与频率有何关系呢？
我们知道DFT的频谱间隔为f1，那么，那么频率轴就是k倍的f1，即是kf1，其中f1=fs/N；
举个例子
我们定义个信号，它包含幅度值为0.7，频率为50Hz的正弦和幅度值为1，频率为120Hz的正弦.
采样频率为1kHz；
信号序列长度N=1500；
程序如下：
clf; Fs = 1000; % 采样频率1kHz T = 1/Fs; % 采样周期1ms L = 1500; % 信号长度 t = (0:L-1)*T; % 时间序列 S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); subplot(211); plot(1000*t,S); title('包含幅值为0.7的50Hz正弦量和幅值为1的120Hz正弦量') xlabel('t (毫秒)') ylabel('X(t)') subplot(212); plot(1000*t(1:50),S(1:50)); title('取前50ms的数据，包含幅值为0.7的50Hz正弦量和幅值为1的120Hz正弦量') xlabel('t (毫秒)') ylabel('X(t)') Y = fft(S); mag = abs(Y); %求得FFT变换后的振幅 f=(0:L-1)*Fs/L; %频率序列 figure plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅 title('信号的FFT') xlabel('频率f (Hz)') ylabel('|幅度mag|')图8 原始信号
通过图8，我们可以看出原始信号的波形。图8的上方为1500毫秒的信号，图8的下方为取前50ms的信号。当从上图中，很难看出信号是由50Hz和120Hz的频率组成。
图9 信号的频谱
图9的横坐标为频率单位Hz,总长为1000Hz（为什么呢？读者可以思考下）
我们发现在50Hz和120Hz处，出现明显的峰值。
总结
本文中采样频率Fs=1000Hz，整个频谱是关于500Hz对称的。其中500Hz就是Nyquist频率Fs/2。
所以FFT的频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。
并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：50Hz和120Hz。
因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内的幅频特性。
本文只是简单的入门，如果各位同学想用好FFT这个频谱分析工具，建议动手去实验，可以发现很多有趣的性质。
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参考文献：
[1]FFT-Matlab初步实现.
[2]matlab 中fft的用法.
[3]