鲁达 用方程思想求解圆内特殊角度
数形结合的一个典型应用，就是在几何图形中用字母表示线段或面积，并找到它们之间的数量关系，从而构造方程解决问题，较为常见的应用包括利用勾股定理列方程，利用特殊直角三角形边角关系列方程等。而在圆内，则增加了垂径定理、圆周角等特殊位置，同样也能基于以上两类应用列方程。问题的关键在于设元、确定数量关系，尤其是在题目中并未给出具体数值的线段或角度时，非常重要。
题目
如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，∠BAC的平分线交圆O于点D，交圆O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F。
(1)求证：DF是圆O的切线；
(2)若DF=3，DE=2，求①BE:AD的值；②求∠FAB的度数.
解析：
(1)证明圆的切线，圆心和切点之间的线是必连的，于是我们可连接OD，目标是证明∠ODF=90°，如下图：
由∠BAC的平分线AD可得∠1=∠2，而半径OA=OD可得∠2=∠3，于是得到∠1=∠3，从而证明AF∥OD，再利用两直线平行，同旁内角互补，证明∠ODF=90°，即DF是圆O切线；
(2)给定两条线段的长度，则应首先观察它们所在的三角形，是否存在相似关系，因此需要补上BD，连接BD后，这一对相似三角形立刻显现，如下图：
①△ADF与△BED，它们都是直角三角形，∠F=90°由条件AF⊥DF求得，而直径AB所对圆周角为90°，可得∠BDE=90°；BE是圆O切线，得到∠ABE=90°，从而∠2+∠E=90°，而∠DBE+∠E=90°，于是∠2=∠DBE=∠1，现在可证明△ADF∽△BED了，因此BE：AD=DE：DF=2：3；
②∠FAB的度数，猜想应该是特殊角，毕竟题目中并未直接给出角度的数值。因此，最好利用的数量关系则是刚刚证明的那一对相似三角形，毕竟相似比已知，为2：3，不妨设BE=2k，则AD=3k，对于△ABE而言，它是一个直角三角形，同时BD是它斜边上的高，典型的射影定理使用环境，可得BD²=DE×AD=6k，在Rt△BED中，利用勾股定理列方程可得：(2k)²=6k+4，解得k1=2，k2=-1/2（舍），因此，BE=4，AD=6，所以AE=8，再次观察Rt△ABE，有一条直角边等于斜边的一半，即∠2=30°，因此∠FAB=60°。
解题反思：
本题较为简单，在最后一问中，如果能想到用方程思想来解决问题，则思路非常顺利，但如果想不到，而是执着于寻找几何联系，则无疑会困难许多。在很多情况下，数形结合并不是说说而已，它不应该仅停留在课堂小结中的文字描述，而应成为一种思维习惯，即遇到某个场景，触发思维反应。