鲁达 2021年北京数学考试于今天下午（6月24日）顺利进行。
所用试题来自网络，可能存在图片不清晰导致的错误，如有发生，请以官方版本为准。
2018年的北京中考数学试卷分值分布格式已经有所调整：全卷满分100分，28道题目。其中选择题8道题，每题2分，共16分；填空题8道题，每题2分，共16分；解答题12道题，共计68分。今年依然沿袭这样的分值分布。
所有解析均为原创，转载/引用请注明出处。严禁抄袭。
时间仓促，知识与能力有限，错误之处在所难免，敬请批评指正。
第〇部分 概述
2021年北京中考试卷格式经历了一次小小的风波，春节前明确2021年北京中考数学试卷将从28题改为25题，期末考试各城区多是按照25题命制试卷，春节后下达新消息，要求按照2020年试卷格式，28道题不变。
第一部分 选择题
选择题每题2分，8道题，共16分。
选择题 第1题
三视图
【解析】
送分题。本题选B。
2020年北京中考：
2018年北京中考：
选择题 第2题
科学计数法
【解析】
大数的科学计数法，不是计算，没有坑。
2020年北京中考：
选择题 第3题
角度
【解析】
去年考察对顶角相等，今年余角补角，初一基础题型。本题选A。
选择题 第4题
内角和
【解析】
很意外的一种考察形式嘛，本题选D。
选择题 第5题
数轴
【解析】
基本上变成了常规题型了，本题选B。
选择题 第6题
概率
【解析】
概率题，这类题基本上都可以从模拟试题中找到原题了。本题选C。
选择题 第7题
估值
【解析】
估值试题从填空题跑到了选择题。本题选B。
选择题 第8题
函数图象题
【解析】
比去年的“注水”题目高档一些。难度也不大。本题选B。
第二部分 填空题
填空题每题2分，8道题，共16分。
填空题 第9题
分式
【解析】
常规题，基础题，人品题。
2020年考题：
填空题 第10题
估值计算
【解析】
因式分解是高频考点。
填空题 第11题
分式方程
【解析】
比较简单。
填空题 第12题
反比例函数
【解析】
常规考题。m=-2。
2020年中考题：
2019年中考题：
填空题 第13题
一次函数与反比例函数
【解析】
切线长定理的基本应用。
填空题 第14题
开放题
【解析】
开放题是目前的一种热门/趋势，考察思维的灵活性。本题是矩形的性质及菱形的判定的综合应用。本试卷的解答题则是平四的判定。
2020年中考题：
填空题 第15题
方差
【解析】
方差比较是高频考点了，在模拟试题解析中给出过很多类似的题目。本题应填“＜”
填空题 第16题
符号意识/比例计算/阅读
【解析】
类似小学奥数“比例”专题的题目，不同的是加强了“符号意识”的考察。
阅读理解，读懂题意，可以引入x，y表示两条生产线的原材料数量，设而不求。可以采取不同的数学模型分析。
第三部分 解答题
解答题
应写出
文字说明、
演算步骤或证明过程！
解答题 第17题
混合运算
【解析】
基础题型，送分题。
解答题 第18题
解不等式组
【解析】
基础题型，送分题。
北京中考近几年的解不等式组都非常简单/完全相同。
2020年中考
解答题 第19题
整式的计算
【解析】
2020年考察过类似题目。基础题型，值得注意的是，20116~2019北京中考都没有在解答题位置出现过整式的乘法与整体代入题型。
2015年的中考：
2020年中考：
解答题 第20题
几何作图
【解析】
作图题的新花样，创新型试题，和海淀一模的“圭表”试题很相似，有画图，有依据填空。本题是等腰三角形三线合一的性质。
2021年海淀一模：
解答题 第21题
一元二次方程小综合
【解析】
（1）判别式的应用，比较简单；
（2）(x-3m)(x-m)=0，这就很容易了。
十字相乘，属于选学内容；
采用求根公式也不复杂；
如果用根与系数的关系，就跑远了。
这个类型阔别多年重回解答题位置。
解答题 第22题
四边形小综合
【解析】
（1）平四的判定与证明，两组对边分别平行；
（2）Rt△BEF三边之比为3:4:5，EF=CE=AD。
这道题中规中矩，虽然是知识点交汇处命题，但是整体难度不大。
解答题 第23题
一次函数与反比例函数
【解析】
（1）函数图象平移，高频考点，y=1/2x-1；
（2）两个临界位置如图所示，可得m的取值范围。1/2≤m≤1。
去年试题的高仿试题，稍微有些不一样。
解答题 第24题
圆综合题
【解析】
真的是比较简单的一道题。（1）角度相等，垂径定理的应用；（2）OE为△BCG的中位线，△OAF∽△GCF可得线段长。
这道题没有切线的相关考察。
解答题 第25题
统计阅读题
【解析】
（1）数一数，第13个数字为10.1，故m=10.1；
（2）p1=12，乙城市平均是11.0，中位数11.5，平均数低于中位数，则一定有p1＞p2；
（3）采用平均数计算即可，11.0x200=2200（百万元）。
第四部分 压轴题题
解答题 第26题
代数综合题
【解析】
短小精悍的一道题。
（1）代入，两个未知数，两个等式，可得解析式；
（2）开口向上，结合题意，对称轴只能在y轴右侧。比较严谨的证明过程需要结合题意，分析各点距离对称轴的远近。可以采用纯代数的方法，也可以结合图形进行。下面采用纯代数的方法。
解答题 第27题
几何综合题
【解析】
（1）很简单的一问，基础题型，但是一个小问题其实是两个问题。
（2）有些难度的问题，虽然也是中点类型。可以采取不同的思路进行。
方法一：同一法
设DE的中点为H，连接AH，连接MH并延长交AB于G。
可证△AMC∽△AHD，△ADC∽△AHM，
于是∠AMH=∠ACD，则点∠AMH+∠BAM=90°，
于是可得点H在FM上，即点H、N重合，问题得证。
方法二：辅助圆
可证∠AMN=∠C=∠AOD，可得辅助圆如图所示，有∠AND=∠AMD=90°，问题得证。
方法三：8字型造全等
如图所示，常规作法，平四BNPQ，再证△MND≌△PNE，可得结论成立。
中点问题涉及到的方法比较多，本题还有其他方法。
中点类型的题目在公众号内推送过多篇详细解析，这类试题这是常考常新套路满满，感兴趣的读者可以自行翻找。
解答题 第28题
新定义综合题
【解析】
（1）比较简单，如图所示，可得结论。
（2）也可以看做是作图题。如图，可得点A的纵坐标。
（3）难度最大的一问，需要借助特殊位置进行分析。
先来分析最小值，AC=AC'=2，而圆O的直径为2，于是可作草图，再作圆A，进而确定点B和B'，此时OA最小值为1，且BC长为根号3；
再来确定最大值。AB=AB'=1，则点A可在OB'的延长线上，此时OA最大，且OA=2，如图所示，可作出草图。
下面计算BC的长，可在△AOC'中计算B'C'的长。
方法一：中线长公式
考虑到点B'为线段OA的中点，可以采用中线长公式直接计算。
方法二：面积法
第五部分 总结与备考建议
1. 从2020年开始，北京中考取消《考试说明》；《义务教育数学课程标准（2011年版）》成为中考命题的唯一依据。说实话，《课程标准》这本132页的薄薄的小书，高度概括了我们需要知道的方方面面，有事没事拿出来翻一翻，总会有新的理解和认识。备考时，认真研读一下《课程标准》，至少需要知道“了解、理解、掌握和运用”，以及“经历、体验和探索”的区别和联系。另外，还会有一些“冷知识”，比如，需要明确课程标准中7条选学但不作为考试要求的知识点，再比如，“了解”部分涉及到的知识点，哪些也是考试的重点和难点。
2. 试题的创新性，其实是一种“不确定性”。对于北京中考试题而言，“新定义试题”这种明确了题型背景必须“新颖”，是不确定性中的确定性；另外一些题目，比如“小云背诗”、吴文俊《海岛算经》九题古证等。本次试题中的《淮南子天文训》和海淀一模的《周礼》“圭表”很相似，不知道会不会作为一种确定性的试题保留下来？
3. 选择题最后一题，去年是函数图象，今年继续；填空题最后一题，去年是创新题，选座位，今年是生产线比例计算，用“吓人”的代数式表示工作量，故意设计干扰项。代数压轴题，依然是对称轴/比大小；几何压轴题，去年是中点，今年继续中点，而且是多年之前的那种旋转风格/手拉手风格的题目；新定义，旋转背景的题目，去年是平移，最后一问，依然后最大值和最小值计算，而且有对应线段长，不知道如何赋分。
4. 继续强调备考注意事项，理解通法和独立思考。通性通法，可能是未来几年北京中考和高考的重要词汇了，之前津津乐道的解题技巧，现在不值一提，甚至可以视作“歪门邪道”甚至“奇技淫巧”，看看今年北京高考的导数压轴题就更清楚了；再比如，中点去年考过了，今年再考一次，而且还是手拉手模型，为了考察“几何综合题”，不回避任何“说法”，永远在路上，一直都是这么“任性”和“傲娇”！而独立思考，则是创新思维的核心，是目前命题形式下，提升考试分数，需要高度依赖的“捷径”！
其他后续的进一步思考和解读，将会结合2022届考生的各类统考、模拟考试进行。
知识和能力、时间和精力都有限，错误之处在所难免，敬请批评指正。
一家之言，仅供参考。
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内容简介
第七版——2022届考生专用
《北京中考数学压轴题解题方法突破》
本书是北京市第一本运用解题理论、采用“编年体”形式对中考数学压轴题的应试策略、分析方法和解题思路进行透彻解析的专业书籍.
对于中考解答题中的几何综合题、新定义类型综合题、代数综合题，以及操作与实践、推理与探究等以“生成性资源”为背景的解答题，选用最能反映命题趋势的经典试题，进行深入解析，注重解题经验的传授与解题能力的提升，帮助考生养成科学的数学思维习惯.同时以微专题的形式兼顾选择题和填空题中的压轴题.
本书可作为初中生中考冲刺用书，亦可作为命题专家、教研员、一线教师和教育界相关人士研究北京中考数学压轴题的参考书籍.
第七版
专供2022年中考考生使用
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