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圆形如何三等分点——一个圆形如何三等分 圆形怎么三等分

锐角三角函数是中学数学的重要内容之一,三角函数最本质的数学问题就是角与线段架起桥梁;而角是圆的主要元素之一.这样三角函数与圆有了无缝的对接,也使得它们在中考试题中也有了完美的遇见.在一些数学题中,看似与圆毫无关系且用常规的解题方法却不好甚至无法解决的问题,而通过题中的某些条件构造辅助圆,运用圆的知识进行解答,往往就会使题目简单化,从而使难题迎刃而解.下面来探析如何巧用辅助圆妙解几何题.

例1.如图,∠XOY=45°,一把直角三角尺△ABC的两个顶点AB分别在OXOY上移动,其中AB=10,则点O到顶点A的距离的最大值为 ,点OAB的距离的最大值为_____ .

【分析】当∠ABO=90°时,点O到顶点A的距离的最大,则△ABC是等腰直角三角形,据此即可求解;点OAB的距离的最大值=10的一半+腰长5的等腰直角三角形底边上的高,依此列式计算即可求解.

【解答】如图,作ADOBD

∵在Rt△ADO和Rt△ABD中,∠ADO=∠ADB=90°,

AD=AO sin∠AOB=AB sin∠ABO,∠AOB=45°,

∴AB/ sin45° =AO/sin∠ABO,

∴当∠ABO=90°时,点O到顶点A的距离的最大.则OA=√2AB=10√2.

OAB的距离的最大值为5+5√2.故答案是:10√2,5+5√2.

【点评】本题主要考查了正弦定理与余弦定理、等腰直角三角形的性质,正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键.

例2.如图,在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=6﹣2√3,点PBC上一动点,PEABEPDACD.无论P的位置如何变化,线段DE的最小值为______

【分析】当APBC时,线段DE的值最小,利用四点共圆的判定可得:AEPD四点共圆,且直径为AP,得出∠AED=∠C=45°,有一公共角,根据两角对应相等两三角形相似得△AED∽△ACB,则AE/AC=ED/BC,设AD=2x,表示出AEAC的长,求出AEAC的比,代入比例式中,可求出DE的值.

【解答】当APBC时,线段DE的值最小,

如图1,∵PEABPDAC,∴∠AEP=∠ADP=90°,∴∠AEP+∠ADP=180°,

AEPD四点共圆,且直径为AP

在Rt△PDC中,∠C=45°,∴△PDC是等腰直角三角形,∠APD=45°,

∴△APD也是等腰直角三角形,∴∠PAD=45°,

∴∠PED=∠PAD=45°,∴∠AED=45°,∴∠AED=∠C=45°,

∵∠EAD=∠CAB,∴△AED∽△ACB,∴AE/AC=ED/BC,

AD=2x,则PDDC=2xAP=2√2x

如图2,取AP的中点O,连接EO,则AOOEOP=√2x

∵∠EAP=∠BAC﹣∠PAD=60°﹣45°=15°,∴∠EOP=2∠EAO=30°,

【点评】本题考查了四点共圆的问题,四点共圆的判定方法有:①将四点连成一个四边形,若对角互补,那么这四点共圆.②连接对角线,若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等,那么这四点共圆;通过四点共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等,从而证得三角形相似,得比例式,使问题得以解决.

例3. 已知直线y=3/4x+bx轴,y轴分别交于AB两点,点Dx轴正半轴,且OD=6,点CM是线段OD的三等分点(点C在点M的左侧)

(1)若直线AB经过点(4,6)

①求直线AB的解析式;

②求点M到直线AB的距离;

(2)若点Qx轴上方的直线AB上,且∠CQD是锐角,试探究:在直线AB上是否存在符合条件的点Q,使得sin∠CQD=4/5?若存在,求出b的取值范围;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)①利用待定系数法即可求得直线AB的解析式;

②根据相似三角形对应边成比例求得即可.

(2)作CECD,且CE=3,因为CD=4,根据勾股定理得出DE=5,所以sin∠CED=4/5,如果ABx轴上方的优弧相交,交点为Q,根据同弧所对的圆周角相等,则∠CQD=∠CED,则sin∠CQD=4/5,当AB经过E点时,点E即为Q点,根据三角形相似求得OB的值为3/2,即可求得b的取值.

【解答】(1)①∵直线AB经过点(4,6),

∴6=3/4×4+b,则b=3,∴直线AB的解析式为y=3/4x+3.

②如图1,设点M到直线AB的距离为MN

由直线AB的解析式为y=3/4x+3可知A(﹣4,0),B(0,3),

OA=4,OB=3,AB=5,

OD=6,点CM是线段OD的三等分点,∴AM=4+4=8,

∵∠BAO=∠MAN,∠AOB=∠ANM=90°,∴△AOB∽△ANM

∴MN/OB=AM/AB,∴MN=AM··OB/AB=8×3/5=24/5.

(2)存在;在CD的垂直平分线上取点I(4,1.5)

I为圆心,ID为半径作圆,则⊙I必过点C

在Rt△MID中,由勾股定理,得:ID=2.5,sin∠MID=MD/ID=4/5,

当直线AB与⊙I相切(切点在第一象限)时,直线AB上存在唯一一个符合条件的点Q(切点),使得sin∠CQD=4/5(∠CQD=∠MID),此时设CD的垂直平分线交直线AB于点N

在直线y=3/4x+b中,令y=0,则x=﹣4/3b,∴OA=4/3|b|,令x=0,则yb,∴OB=|b|,由勾股定理,得:AB=5/3|b|.

∵∠QNIABO,∠IQN=∠AOB=90°,∴△IQN∽△AOB

【点评】本题是一次函数的综合题,考查了待定系数法的应用,三角形相似的判定和三角函数等,(2)作出直角三角形CDE和三角形的外接圆是解题的关键.根据题干中条件画出辅助圆,圆的性质:圆心必在线段CD的垂直平分线上是解答本题关键,可见辅助圆对题目的综合分析起了很大的作用.其中需要特别注意的是,圆有两个.

解题反思:在解答几何问题时,如若发现运用常规方法不能解决问题或是解决过程比较繁琐,此时可以通过仔细审题,挖掘题干中与圆有联系的条件(特别是线段与张角问题),从而做出辅助圆进行分析解题,这样可使解题柳暗花明,另辟蹊径,化难为易,令问题的解答耳目一新,这样构建辅助圆的关键就是善于捕捉题干的细节之处,要在平时的学习中勤总结,多揣摩,不难做到遇到类似情况可尝试应用.

责任编辑: 鲁达

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