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如何截取正弦波的上半部分

翻译小组成员介绍: Alex

Alex,英语爱好者,现工作于洛阳

文章: be

译者: Alex 校对: 向海飞

正弦波的直观解释 Intuitive Understanding of Sine Waves

正弦波(正弦曲线)曾使我迷惑不解。我可以一边念叨“正弦,余弦,正切”,一边画着三角形,但它意义何在?

我一直误认为正弦源于其他形状。设想场景:

  • 你:几何讲的是形状、线条之类...
  • Alien:哦?老师能举一个线条的例子吗?
  • 你(左顾右盼):嗯……看到那块砖头了吗?线条就是砖头的一条边。
  • Alien:所以,线条是形体的一部分。是吗?
  • 你:差不多可以这么理解。大多数图形中包含线条。但线条本身是一个基本概念。比如一束光,地图上的一条路径,甚至...
  • Alien:砖头包含线条,线条来自砖头。砖头、砖头、砖头。

数学课几乎就是这个样子。“圆包含正弦,正弦来自圆。圆,圆,圆。”

哎呀!不对!圆只不过是正弦的一个例子。一句话:正弦是一种自然摆动,象征着平滑,它使得圆很“圆”,如同直线使得正方形很“方”。

让我们正确看待正弦形状本身以建立直觉,然后弄清楚这家伙和圆形等的关系!开始啦!

正弦和线条 Sine vs Lines

概念和例子是有区别的:线条是一个基本的概念,而正方形只它的一个例子。同理,正弦也是一个基本概念,并非圆的一部分。是不是开始柳暗花明。

我们通过下面的程序观察正弦。注意观察:

  • 首先请点击开始键。好了,程序开始运行了!看到黄色小球正平稳地来回运动吗?那就是正弦!它是一种自然的摆动,如同弹簧的弹跳,钟摆的摆动,琴弦的振动...自然界中很多物体都可以做这种运动。
  • 现在请将“垂直”选项设置为“线性”。是不是变化很大 - 运动变得固定和机械,如同一场乒乓球比赛?

通过我们能看得更清

  • 线性运动是恒速的:以固定的速度运动,到边界后立即转身。机器人舞蹈就是这种不自然的线性运动
  • 正弦运动是变速的:开始快,慢慢减速直至停止,然后又开始加速。液体波动就是这种迷人的平稳运动

遗憾的是,教科书并不用动画或者舞蹈来阐述正弦波,更喜欢把正弦波画在时间轴上(请将“水平”选项设置为“时间轴”)。

惊讶吧,这就是我们经常看到的正弦波示意图。从这张图里你能找到正弦运动的感觉吗?反正我是找不到。还是先观察正弦运动,然后记录它的运动轨迹吧。

绕不开的圆 The Unavoidable Circle

圆的确包含正弦,但是要从圆里看出正弦来,其难度不亚于从煎蛋饼里挑出鸡蛋。全混在一块儿啦!

不着急,慢慢来。我们回到上面的程序。重新设置为:

Vertical(垂直):none,

Horizontal(水平):sine*。

看黄色小球是不是开始水平摆动?那就是正弦运动。只不过我们做了些微调:正常情况下,正弦从中间点开始运动,迅速移动至最大点,然后返回中间点,周而复始。这次,黄色小球是从最大点开始,然后返回中间点。我们称从最大点开始的正弦为余弦。其实余弦只是正弦的一个不同版本(如同水平线是垂直线的不同版本。大家都是直线,只是方向不同罢了)。

万事俱备。是时候让两个正弦波同时动起来了:请将程序设置为:

vertical:sine,

horizontal:sine*...

见证奇迹的时刻到了,我们居然得到了一个圆!

水平向和垂直向的正弦运动组合得到圆周运动,多神奇!但是教科书从不这么解释。它们总是先画一个圆,然后试图从中分解出正弦。但是相对于“分解”,我更喜欢“组合”:先画水平正弦和垂直正弦,然后组合得到圆。

快速问答 Quick Q & A

我初学正弦时可没有这些认识:

正弦是1维的

正弦波在1个维度摆动。现实中,我们常常把正弦波画在时间轴上,而且正弦运动的物体有时确实是在向前移动的。这给我们造成了一个假象:正弦运动是2维的。但并非如此!在1个维度弹跳的弹簧做得就是完美的正弦运动。

1维正弦运动

来自Wikipedia, 不要被催眠了

两个正弦波组合成圆

圆和正方形均是基本单元(正弦和线条)的组合。圆由1个水平向和1个垂直向的1维正弦波关联组合而成。

但是圆并不是正弦波的源,同样正方形也不是线条的源。它们仅仅是例子。

▌正弦值的意义是什么?

正弦值位于-1和1之间。它开始于0,逐渐增大至1.0(最大值),然后减小至-1.0(最小值),最后返回到0。如果把正弦值看成一个百分数,那么正弦运动就如同急行军,从0开始加速到100%(全速前进)后来又从-100%(全线撤退)回到0。

▌正弦sin(x)的输入x指的又是什么?

虽然有些费解,但是也可以弄清楚。sin(x)是一个无限循环,而输入x就是我们在这个循环里的位置。

还是先看看直线吧:

  • 假设,你沿着一个在正方形的边行走,走完每条边需要10秒钟。
  • 1秒后,你走完一条边的10%
  • 5秒后,你走完那条边的50%
  • 10秒后,你走完整条边

线性运动就是这样平淡无奇。现在看看正弦(注意“0到最大值”这个区间):

▌正弦波的递增区间

  • 这次,我们沿着正弦波行走,从0(中间值)走到1.0(最大值)。此过程需时10秒。
  • 5秒后,我们走完行程的70%!正弦运动在起始点的速度很快,然后慢慢减速。前5秒内就完成了大半行程。
  • 剩下的5秒,我们将走完剩下的70%到100%这段行程。而且,最后98%到100%这段我们将整整走1秒钟。

尽管初始速度很快,但是正弦运动就是这样,它会温柔地减速,直至停在最大值,然后华丽转身。就是这份从容使得正弦波格外与众不同。

快速问答:线性循环的10%和正弦循环的10%,哪一个距离原点更远?答案是正弦。前面提到,正弦运动在原点的速度最快。当正弦运动完成循环的50%时,它的速度降低到线性运动的平均速度,之后正弦运动继续减速,直至停在最大点,然后返回。所以,在开始阶段正弦运动跑得比线性运动快。

可见,输入x是指完成循环的量。那么,循环又是什么呢?

这和应用背景密切相关。

  • 在基础三角学中,'x'为角度,一个循环为360度。
  • 在高阶三角学中,'x'为弧度(弧度更自然),一个循环为单位圆一周(2pi)

问题又来了,循环依赖于圆!我们还能摆脱圆的纠缠吗?(未完待续)

责任编辑: 鲁达

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