如何画一个平衡二叉树

什么是平衡二叉树（balanced binary tree）

是一种特殊的二叉排序树，它或者为空树，或者每个结点的左右子树都是平衡二叉树，也就是每个结点的左右子树的高度之差只能是-1,0,1三种情况。

平衡二叉树又称AVL树，是由苏联的Georgy Adelson-Velsky和E.M.Landis发明的，并以他们的名字命名。

平衡二叉树的平衡状况由平衡因子(Balance Factor,BF)来衡量。平衡因子定义为当前结点的左子树高度减去右子树的高度之差，其可能取值只有-1,0,1。叶结点的BF都是0

平衡二叉树的应用价值：

如果能维持平衡二叉树的结构，检索操作就能在O(log n)时间内完成，实现高效检索

最小不平衡子树：

距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树。（指BF超出合法值）

最小非平衡子树：

包含插入结点位置，其根结点的BF是1或-1的最小子树。（指BF非0，但BF在合法值范围内）

平衡二叉树-平衡因子BF取值

下图图一中，蓝色字体表示平衡二叉树对应节点的BF值

节点5的BF值 = 左边树的高度 - 右边数的高度 = 3-3=0，即BF = 0

节点4的BF值 = 左边树的高度 - 右边数的高度 = 1-0=1，即BF = 1

节点2的BF值 = 左边树的高度 - 右边数的高度 = 0-0=0，即BF = 0（即叶子节点BF=0）

节点8的BF值 = 左边树的高度 - 右边数的高度 = 0-1=-1，即BF = -1

节点10的BF值 = 0（叶子节点）

该二叉树所有节点的BF值在-1,0,1范围内，所以图一为平衡二叉树

平衡二叉树-图1

图二-平衡二叉树

图一的平衡二叉树插入元素3之后，如上图二

由于4节点的BF值 = 左边树的高度 - 右边数的高度 = 3-1=2，即BF =2，

BF值不在-1,0,1范围，故图二的二叉树不是平衡二叉树

无需调整：插入操作后仍是平衡二叉树

如下图三插入结点3，图四整棵树仍然是平衡的（各节点的BF值仍在-1,0，1范围）。

图三-平衡二叉树

图四-平衡二叉树

LL型调整：a的左子树较高，新结点插入在a的左子树的左子树。进行右旋转。

在图五的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0（否则a就不是最小非平衡子树的根了）。结点2被插入到了a的左子树的左子树，需要进行LL型调整：将结点2-3-4-5-8看做一条可以转动的链子，将其向右旋转（顺时针）一个结点，然后将原来b结点的右子树，接到a结点的左子结点上，调整完成。

图5-LL型调整-平衡二叉树

【注意】：插入结点不必像上图（图5）一样，必须插在某个结点的左子结点，也可以像下图（图6）一样，插在某个结点的右子结点，调整的方法还是一样的。

这也是定义中说：新结点插入在a的左子树的‘左子树’，而不是左子树的左子结点的原因。

图6-LL型调整-平衡二叉树

插入新值后原来的平衡二叉树变成不平衡了，需要LL型调整，变成新的平衡二叉树。

LL型调整，需要右旋转，python代码实现如下：

def LL(a, b): a.left = b.right # 将b的右子树接到a的左子结点上 b.right = a # 将a树接到b的右子结点上 a.bf = b.bf = 0 # 调整a、b的bf值。 return b

RR型调整：a的右子树较高，新结点插入在a的右子树的右子树。进行左旋转

RR型调整与LL型正好是对称的，操作步骤类似。

在下图（图7）的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0。结点9被插入到了a的右子树的右子树，需要进行RR型调整：同样地，将结点4-5-6-8-9看做一条可以转动的链子，将其向左旋转（逆时针）一个结点，然后将原来b结点的左子树，接到a结点的右子结点上，调整完成。

图7-RR型调整-平衡二叉树

同样地，插入结点也可以插入在结点8的左子结点处，调整步骤是一样的。

插入新值后原来的平衡二叉树变成不平衡了，需要RR型调整，变成新的平衡二叉树。

RR型调整，需要左旋转，python代码实现如下：

def RR(a, b): a.right = b.left b.left = a a.bf = b.bf = 0 return b

LR型调整：a的左子树较高，新结点插入在a的左子树的右子树。先进行左旋转，再进行右旋转

在下图（图8）的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0，c的BF也一定是0。结点4.1被插入到了a的左子树的右子树（图b中4.1插入到了c结点的左子树，当然也可以插到c结点的右子树，其调整过程都是一样的），需要进行LR型调整。

图8-LR型调整-平衡二叉树

在下图9种图c中，首先将c结点的左右子树分别摘下来，然后将结点4.5-4-3-2看做一条可以转动的链子，对其进行左旋转（逆时针）一个结点，就得到了图d，然后再将结点2-3-4-4.5-5-8-9看做一条转动的链子，将其进行右旋转（顺时针）一个结点，就得到了图e。

图9-LR型调整

图10-LR型调整-平衡二叉树

最后将原来c结点的左子树接到b结点的右子结点上，将原来c结点的右子树接到a结点的左子结点上，调整完成。

插入新值后原来的平衡二叉树变成不平衡了，需要LR型调整，变成新的平衡二叉树。

LR型调整，python代码实现如下：

def LR(a, b): c = b.right a.left, b.right = c.right, c.left c.left, c.right = b, a if c.bf == 0: # c本身就是插入点 a.bf = b.bf = 0 elif c.bf == 1: # 插在c的左子树 a.bf = -1 b.bf = 0 else: # 插在c的右子树 a.bf = 0 b.bf = 1 c.bf = 0

RL型调整：a的右子树较高，新结点插入在a的右子树的左子树。先进行右旋转，再进行左旋转。

RL型调整与LR型正好是对称的，操作步骤类似。在下图的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0，c的BF也一定是0。结点5.5被插入到了a的右子树的左子树（图b中5.5插入到了c结点的左子树，当然也可以插到c结点的右子树，其调整过程都是一样的），需要进行RL型调整。

图11-RL型调整

在下图12中的图c中，首先将c结点的左右子树分别摘下来，然后将结点7-9-10-11看做一条可以转动的链子，对其进行右旋转（顺时针）一个结点，就得到了图d，然后再将结点3-4-5-7-9-10-11看做一条转动的链子，将其进行左旋转（逆时针）一个结点，就得到了图13中图e。

图12-RL型调整

图13-RL型调整-平衡二叉树

最后将原来c结点的左子树接到a结点的右子结点上，将原来c结点的右子树接到b结点的左子结点上，调整完成。

插入新值后原来的平衡二叉树变成不平衡了，需要RL型调整，变成新的平衡二叉树。

RL型调整，python代码实现如下：

def RL(a, b): c = b.left a.right, b.left = c.left, c.right c.left, c.right = a, b if c.bf == 0: a.bf = b.bf = 0 elif c.bf == 1: a.bf = 0 b.bf = -1 else: a.bf = 1 b.bf = 0 c.bf = 0 return c

平衡二叉树的插入操作的复杂度是O(log n)

python用平衡二叉树来实现一个字典类

class StackUnderflow(ValueError): pass class SStack(): def __init__(self): = [] def is_empty(self): return == [] def top(self): # 取得栈里最后压入的元素，但不删除 if == []: raise StackUnderflow('in SS()') return [-1] def push(self, elem): .append(elem) def pop(self): if == []: raise StackUnderflow('in SS()') return .pop() class Assoc: # 定义一个关联类 def __init__(self, key, value): = key # 键（关键码） = value # 值 def __lt__(self, other): # Python解释器中遇到比较运算符<,会去找类里定义的__lt__方法（less than） return < o def __le__(self, other): # （less than or equal to) return < o or == o def __str__(self): return 'Assoc({0},{1})'.format(, ) # key和value分别替换前面{0},{1}的位置。 class BinTNode: """ 二叉树节点，数据，左节点，右节点 """ def __init__(self, dat, left=None, right=None): = dat = left = right class DictBinTree: """ 二叉树类 """ def __init__(self, root=None): = root def is_empty(self): return is None def search(self, key): # 检索是否存在关键码key bt = while bt is not None: entry = bt.data if key < en: bt = bt.left elif key > en: bt = bt.right else: return en return None def insert(self, key, value): bt = if bt is None: = BinTNode(Assoc(key, value)) return while True: entry = bt.data if key < en: # 如果小于当前关键码，转向左子树 if bt.left is None: # 如果左子树为空，就直接将数据插在这里 bt.left = BinTNode(Assoc(key, value)) return bt = bt.left elif key > en: if bt.right is None: bt.right = BinTNode(Assoc(key, value)) return bt = bt.right else: bt.da = value return def print_all_values(self): bt, s = , SStack() while bt is not None or not s.is_empty(): # 最开始时栈为空，但bt不为空；bt = bt.right可能为空，栈不为空；当两者都为空时，说明已经全部遍历完成了 while bt is not None: s.push(bt) bt = bt.left bt = s.pop() # 将栈顶元素弹出 yield bt.da, bt.da bt = bt.right # 将当前结点的右子结点赋给bt，让其在while中继续压入栈内 def entries(self): bt, s = , SStack() while bt is not None or not s.is_empty(): while bt is not None: s.push(bt) bt = bt.left bt = s.pop() yield bt.da, bt.da bt = bt.right def print_key_value(self): for k, v in (): print(k, v) def delete(self, key): # 以下这一段用于找到待删除结点及其父结点的位置。 del_position_father, del_position = None, # del_position_father是待删除结点del_position的父结点 while del_position is not None and del_position.da != key: # 通过不断的比较，找到待删除结点的位置 del_position_father = del_position if key < del_position.da: del_position = del_ else: del_position = del_ if del_position is None: print('There is no key') return if del_ is None: # 如果待删除结点只有右子树 if del_position_father is None: # 如果待删除结点的父结点是空，则说明待删除结点是根结点 = del_ # 则直接将根结点置空 elif del_position is del_: # 如果待删除结点是其父结点的左结点 del_ = del_ # ***改变待删除结点父结点的左子树的指向 else: del_ = del_ return # 如果既有左子树又有右子树，或者仅有左子树时，都可以用直接前驱替换的删除结点的方式，只不过得到的二叉树与原理中说明的不一样，但是都满足要求。 pre_node_father, pre_node = del_position, del_ while is not None: # 找到待删除结点的左子树的最右结点，即为待删除结点的直接前驱 pre_node_father = pre_node pre_node = del_ = # 将前驱结点的data赋给删除结点即可，不需要改变其原来的连接方式 if is pre_node: = if is pre_node: = def build_dictBinTree(entries): dic = DictBinTree() for k, v in entries: dic.insert(k, v) return dic class AVLNode(BinTNode): def __init__(self, data): BinTNode.___init__(self, data) = 0 class DictAVL(DictBinTree): def __init__(self, data): Dic(self) @staticmethod def LL(a, b): a.left = b.right # 将b的右子树接到a的左子结点上 b.right = a # 将a树接到b的右子结点上 a.bf = b.bf = 0 # 调整a、b的bf值。 return b @staticmethod def RR(a, b): a.right = b.left b.left = a a.bf = b.bf = 0 return b @staticmethod def LR(a, b): c = b.right a.left, b.right = c.right, c.left c.left, c.right = b, a if c.bf == 0: # c本身就是插入点 a.bf = b.bf = 0 elif c.bf == 1: # 插在c的左子树 a.bf = -1 b.bf = 0 else: # 插在c的右子树 a.bf = 0 b.bf = 1 c.bf = 0 return c @staticmethod def RL(a, b): c = b.left a.right, b.left = c.left, c.right c.left, c.right = a, b if c.bf == 0: a.bf = b.bf = 0 elif c.bf == 1: a.bf = 0 b.bf = -1 else: a.bf = 1 b.bf = 0 c.bf = 0 return c def insert(self, key, value): a = p = if a is None: # 如果根结点为空，则直接将值插入到根结点 = AVLNode(Assoc(key, value)) return a_father, p_father = None # a_father用于最后将调整后的子树接到其子结点上 while p is not None: # 通过不断的循环，将p下移，查找插入位置，和最小非平衡子树 if key == p.da: # 如果key已经存在，则直接修改其关联值 p.da = value return if p.bf != 0: # 如果当前p结点的BF=0，则有可能是最小非平衡子树的根结点 a_father, a, = p_father, p p_father = p if key < p.da: p = p.left else: p = p.right # 上述循环结束后，p_father已经是插入点的父结点，a_father和a记录着最小非平衡子树 node = AVLNode(Assoc(key, value)) if key < p_father.da: = node else: = node # 新结点已插入，a是最小非平衡子树的根结点 if key < a.da: # 新结点在a的左子树 p = b = a.left d = 1 # d记录新结点被 插入到a的哪棵子树 else: p = b = a.right # 新结点在a的右子树 d = -1 # 在新结点插入后，修改b到新结点路径上各结点的BF值。调整过程的BF值修改都在子函数中操作 while p != node: if key < p.da: p.bf = 1 p = p.left else: p.bf = -1 p = p.right if a.bf == 0: # 如果a的BF原来为0，那么插入新结点后不会失衡 a.bf = d return if a.bf == -d: # 如果新结点插入在a较低的子树里 a.bf = 0 return # 以上两条if语句都不符合的话，说明新结点被插入在较高的子树里，需要进行调整 if d == 1: # 如果新结点插入在a的左子树 if b.bf == 1: # b的BF原来为0，如果等于1，说明新结点插入在b的左子树 b = Dic(a, b) else: # 新结点插入在b的右子树 b = Dic(a, b) else: # 新结点插入在a的右子树 if b.bf == -1: # 新结点插入在b的右子树 b = Dic(a, b) else: ##新结点插入在b的左子树 b = Dic(a, b) # 将调整后的最小非平衡子树接到原树中,也就是接到原来a结点的父结点上 if a_father is None: # 判断a是否是根结点 = b else: if a_father == a: a_ = b else: a_ = b if __name__ == "__main__": # LL调整 entries = [(5, 'a'), , 'g'), , 'h'), (3, 'b'), (2, 'd'), (4, 'e'), , 'f')] dic = build_dictBinTree(entries) dic.print_key_value() print('after inserting') dic.insert(1, 'i') dic.print_key_value() # LR调整 entries = [, 'g'), (3, 'b'), (4, 'e'), , 'f')] dic = build_dictBinTree(entries) dic.print_key_value() print('after inserting') dic.inser, 'i') # LL dic.print_key_value()

最后，若有不正确之处，欢迎留言纠正