鲁达 回顾
通过上一章，大家应该对点乘，叉乘和行列式的数学和几何含义已经非常了解，知道如何去表示一个平面，这里是传送门，不熟悉的内容可以去恶补一下，这一章会多次的使用这些概念：
五分钟MIT公开课-多元微积分：向量，行列式和平面
为什么要使用矩阵，使用矩阵的动机是什么
在生活中，我们接触的很多东西都是线性的，或者需要简化成线性的。多个等式的联立得到的就是矩阵了。联立方程就是矩阵乘法。
Matrix Multiplication 矩阵乘法
举个熟悉的鸡兔同笼的问题. 鸡和兔共有 a 只，共有脚 b 个，用矩阵的思想去表述这个问题。
假设有鸡x只，兔y只
用矩阵乘法表示：
通用的数学符号表达方式为：
在矩阵和向量中的每一个值都叫做元素（entries）
在计算矩阵乘法 A⋅B 时，每个元素都可以通过A矩阵的行和B矩阵的列做点乘得到。A矩阵的宽度必须要等于B矩阵的高度。
AB的乘积代表先做变换B再做变换A。我们习惯从左往右，但是矩阵计算是从右往左。直观的解释就是如果有两个连续的方程 f(g(x)) ，先要计算 g(x), 再计算 f(x)。
矩阵的结合律（associativity）
补充
Identity matrix 单位矩阵
单位矩阵即对角全为一的矩阵。是一种“可有可无”的矩阵，单位矩阵的变换叫做恒等变换。
在平面上，做90度逆时针旋转的变换
变换矩阵的每一列说明了对要变换的对象进行什么操作。
R的第一列就是对第一个基向量做R变换的结果，第二列是对第二个基向量做R变换后的结果。
最有意思的是，通过矩阵计算大大简化了需要用公式计算的计算量，如果考虑连续做两次90度逆时针变换：
Matrix Inverses 逆矩阵
如果定义A的逆矩阵为M，则有
这里A需要是 n×n的方阵，如果不是方阵的情况不在这里讨论。
对线性系统 AX=B的解可以使用逆矩阵。等式两边同时乘A的逆矩阵
公式（适合小矩阵）
adj（adjoint）是 伴随矩阵
步骤（3*3矩阵)
1.首先要做的是，是找一个叫 余子式（minors） 的东西。
余子式是去除了一些元素的行列式。要找到A矩阵一行一列的余子式，去掉这个元素所在的行和列，计算剩余部分的行列式，即
得到矩阵A的余子式：
2.找到另外一个矩阵，叫做 代数余子式（cofactors)
代数余子式就是给余子式加上符号。根据棋盘图所示，+表示保留余子式值，-表示反转余子式的值。顺便一提，棋盘法可以同样用来做叉乘的符号判定。
得到代数余子式：
3.转置（transpose），得到伴随矩阵
行列互换
4.除以行列式
Equations of planes 平面的方程再探
之前学习点积的时候就知道如何去检测正交或者垂直。平面的公式是：
第一种情况，平面过原点，知道法向量 N=⟨1,5,10⟩ , 对于在平面上的点 P(x,y,z) , 有
第二种情况，同样的法向量，平面过 P0(2,1,−1)
总结下两种情况下的特点：
不同情况等式右边常数项不同
常数项是平面的平移距离的一个表示
等式左边的系数刚好和法向量对应
一个有意思的事情是，这里又和叉乘联系起来了。平面方程的系数就是法向量，如何得到法向量呢？叉乘。 点乘，平面，叉乘就这么在一起了。
举个例子：向量 v=⟨1,2,−1⟩和平面方程 x+y+3z=5是什么关系？
快速确定平面方程的法向量，发现和已知向量不成比例，但是点积为0，说明向量垂直于法向量，所以和平面是平行的。如果把平面移到原点，如果向量和平面平行，向量的末端就在被移动到原点的平面上。
Linear Systems and Planes 线性系统和平面
线性方程组的几何意义。
线性方程组，对于三纬空间来说（3*3线性方程组），方程组的每一个方程决定一个平面。解方程组的本质就是找平面的交点。
一般会有这三种情况：
三条交线交于一点：有唯一解
平面交线平行：没有解，条件矛盾，无法同时满足
平面交线重叠：有无数解，条件不足
讨论下平面方程关于常数项d，d的数值并不是平移的距离，常数项除以法向量的长度才是平面到原点的距离。
将这个问题回归到从代数上，矩阵不一定能够求逆是因为行列式有可能为0（矩阵的求逆公式）。所以，矩阵的行列式不为0，矩阵可求逆，方程组有解。
行列式不为0是三个平面有唯一交点的情况，行列式为0是交线平行的情况。
Solutions to Square Systems 方阵系统的解
这一节从另一个角度去认识行列式为0，为什么方程会没有解。
有一种方程组叫做 齐次方程组(homogeneous systems), 特点是常数项全部为0。方程组各项次数整齐，在数乘运算下不变。
齐次方程总是存在一个平凡解(trivial solution)，即原点。几何学表示三个平面都过原点。
第一种情况，A的行列式不为0
原点是唯一解。
第二种情况，A的行列式为0
我们知道A中的项是方程组的系数，而方程组的系数又是平面的法向量。行列式为0，说明三个平面的法向量的行列式为0:
这就意味着三个法向量共面（coplanar）（参考上一章）。用这三个法向量围成了一个不占任何体积的平行六面体。
证明有无穷多解：
存在一条垂直于三个法向量所在平面且过原点的直线，平行于三个平面，而且现在面上，所以存在无穷多解。
如何求出这些解：
对法向量做叉乘，这就是方程的非平凡解（nontrivial solution）
如果是一般情况，系统不再是齐次方程。
if det(A)≠0
if det(A)=0 无解或无穷多解