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『如何做三等分点』如何做三等分点尺规作图…

昨天遇到一个等边三角形三等分点的题,在别人的提示下才弄明白。又研究了一翻,得出一些等边三角形三等分点的一些有趣结论,想和大家分享一下。

如图所示,等边△ABC,AE=BF=CD=1/3AB,图中可得出的结论有:

1、△EDF是等边三角形。

2、△IGH是等边三角形。

3、AI=IG,且AI:IG:GF=3:3:1。

4、CG⊥AF,∠ICG=30°。

结论1:△EDF是等边三角形。

这个结论容易证明,方法也很多。

取BE的中点M,连接MF。

设AB=3,易知BM=EM=BF=1。

∠B=60°,△BMF是等边三角形,∠BMF=∠BFM=60°,∠MEF=∠MFE=30°。

∠BFE=90°,求得EF=√3。

同理可得ED=FD=√3。

所以,△EDF是等边三角形。

结论2:△IGH是等边三角形。

该结论也容易证明,主要通过三角形全等来证明。

通过全等,易证AF=BE=CE,AI=BG=CH,IE=FG=DH。

所以IG=IH=GH。

所以,△IGH是等边三角形。

结论3:AI=IG,且AI:IG:GF=3:3:1。

该证明过程则略显复杂,需要通过较多的计算。

作图:过E点作EK//BC,交AF于K;过E点作EL垂直于AF,交AF于L;过F点作FM垂直于AB,交AB于M。

我们可以设AE=1。

通过计算可求得,FM=√3/2,AF=√7。

根据三角形面积相等,AE×MF=AF×EL,可求得EL=√3/(2√7)。

在直角△ELI中,∠EIL=60°,用三角函数,可求得EI=√7/7。

GF=EI=√7/7,GF:AF=1:7。

因为EK:BF=1:3,EK:FC=1:6,KI:IF=1:6。

又因为AK:AF=1:3,所以,AK:KI:IF=7:2:12,AI:IF=3:4。

AI=(3/7)AF,IF=(4/7)AF,GF=(1/7)AF,所以GI=(3/7)AF。

所以AI=IG,且AI:IG:GF=3:3:1。

结论4:CG⊥AF,∠ICG=30°。

这个结论我们可以用反证法来证明。

假设G点不是AF的高,过C点作CG'垂直于AF,交AF于G'。作AM垂直于BC,交BC于M。

同样,设AE=1,可计算出AM=(3√3)/2。

根据面积相等,CF×AM=AF×CG',可以计算出CG'=(3√3)/√7。

再在直角△CFG‘中,用勾股定理求出FG'=√7/7。

FG=FG',所以G与G'重合,CG⊥AF。

在直角△CGI中,∠GIC=60°,所以∠ICG=30°。

好了,今天的分享就到这里,大家如果有什么有趣的结论,欢迎分享讨论。

责任编辑: 鲁达

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