鲁达 目录
1 多项式函数
2 多项式的泰勒展开式
3 幂函数的n阶导数
4 函数的局部线性近似
5 微分中值定理和有限增量公式
6 泰勒公式
7 一些常见函数的泰勒公式
8 泰勒多项式应用举例
对于一些比较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达。多项式函数是最为简单的一类函数，它只需要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能求出函数值。因此，多项式经常被用来近似地表达比较复杂的函数，这种近似表达在数学上常称为逼近。
泰勒在这方面作了不少贡献。其研究结果表明：具有直到n+1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n次多项式近似表达。
1 多项式函数
2 多项式的泰勒展开式
2.1 多项式综合除法
f(x) = x³ -x² -x -1
以2为参考点的泰勒展开式（即f(x)/(x-2)）：
f(x) =1+7(x-2) +5(x-2)² +(x-2)³
寻找多项式的极大值和极小值：
3 幂函数的n阶导数
物体作变速直线运动时的瞬时速度v(t)就是路程函数s(t)对时间t的导数，即v(t) = s'(t)。
根据物理学知识，速度函数v(t)对于时间t的变化率就是加速度a(t)，即a(t)是v(t)对于时间t的导数，即a(t)=v'(t)=[s'(t)]'。
于是，加速度a(t)就是路程函数s(t)对时间t的导数的导数，称为s(t)对t的二阶导数，记为s''(t)。因此，变速直线运动的加速度就是路程函数s(t)对t的二阶导数，即a(t) = s''(t)。
4 函数的局部线性近似
例如函数y = x³，当自变量有变化时，即Δx，因变量y会变化Δy，
Δy = (x+Δx) ³-x³ = 3x²Δx+3x(Δx)²+(Δx)³
当Δx→0时，上戒的后两项是Δx的高阶无穷小，可以舍去，于是上式就变成了
Δy = 3x²Δx
也就是说当Δx足够小的时候，即在某点的很小的邻域内，是可以表示成的线性函数的。线性函数计算起来，求导起来会很方便。
对于一般函数，当在某点很小领域内我们也可以写成类似上面的这种自变量和因变量之间线性关系，
这个式子就是在点邻域内舍掉高阶无穷小项以后得到的局部线性近似公式。
5 微分中值定理和有限增量公式
微分中值定理提示了函数在区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系。
拉格朗日中值定理：f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)。
记ε=a+θ(b-a)(0<θ<1)，令a=x, b=x+Δx，则有Δy = f(x+Δx)-f(x) = f'(x+θΔx)Δx(0<θ<1)
函数的微分dy=f'(x)Δx是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。
6 泰勒公式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
上式最后一项称为余项，不包含余项的泰勒公式称为泰勒多项式。
函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若f(x)在x=0处n阶连续可导，则下式成立：
泰勒式项式的几何表达：
n阶泰勒公式中的余项写成如下形式的拉格朗日余项：
7 一些常见函数的泰勒公式
（上面e^x，当x=1时，就得到了e的一个表达式逼近。）
下图是函数 f(x) = e^x 用泰勒多项式的近似。
8 泰勒多项式应用举例
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