鲁达 陈 莹（天津市滨海新区塘沽第一中学）
摘要：“向量减法运算及其几何意义”是高中数学必修4第二章平面向量第二单元第二节的内容。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景。“向量减法运算及几何意义”的教学应遵循教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学原则，采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学，以便达到提高教学效果和教学质量的目的。
关键词：向量减法运算；几何意义；类比转化；数形结合
教学内容解析
“向量减法运算及几何意义”是高中数学必修4第二章平面向量第二单元第二节的内容。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念和相等向量，共线向量的特点，以及向量加法运算的基础上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进行研究。类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，体现了加法运算与减法运算的内部联系。向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是对运算认识的又一次质的飞跃。
根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受向量减法的形成过程是这节课的突破口。向量的减法运算及其几何意义，向量减法与向量加法的类比则为本节课的教学重点。
本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述及解决实际问题的能力。另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的向量数乘运算及几何意义都有着密不可分的关系，因此本节的内容起到了承前启后的重要作用。并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材。
教学目标设置
新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程，也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程。新课标要求，借助向量加法运算及相反向量的概念，理解向量减法的运算其几何意义。根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标。
（1）掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法。
（2）掌握向量减法的几何意义并体会向量加减法的内在联系，从而渗透转化的数学思想方法。
（3）通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时也是研究图形的重要工具，从而深入体会数形结合的思想方法。
（4）通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识。
（5）营造和谐的课堂氛围，通过独立思考及合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及严谨的思维方式。
学生学情分析
本节课面对的是高一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导。通过之前的学习学生已经掌握了平面向量的基本概念、相等向量，共线向量的特点，以及向量加法运算及其几何意义。同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。
为了更好地实现本节课的教学目标，需要学生从原有的知识和能力出发进一步体会向量加减法的内在联系，从而深入感受转化及类比的数学思想方法。让学生充分感受向量减法法则的研究方法和生成过程，从而深入体会数形结合的思想方法。
从数形结合、类比、转化的数学思想方法的初步具备到本节课的深入强化，从向量基本概念、加法运算及其几何意义的知识储备到加减法及几何意义的内在联系，可通过实际教学中积极的双边活动让学生自主寻求解决问题的途径。激发学生的学习热情，提高课堂效率，使知识得到螺旋式的提高与巩固。而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面，还有待于教师的指导帮助。
根据本节课的教学内容及学生的实际情况，笔者将本节课的教学难点制定为对向量减法几何意义的深入理解以及向量减法运算的实际应用。学生根据教师提供的情境，采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识，归纳知识。通过创设情境疑问，引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流，探求解决问题的方法。鼓励学生创新思考，加强数学实践，培养学生的理性思维，同时注重培养学生良好的数学学习习惯。
教学策略分析
遵循教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学原则，本节课笔者采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学，达到提高教学效果和教学质量的目的。从教与学的实际情况出发在教学过程中深入挖掘课本资源，强调向量运算的重要性，类比实数的减法运算提出是否存在向量减法运算的疑问，调动学生的学习兴趣。教学的核心内容为向量减法的作图方法及几何意义，向量加减法在几何问题中的应用，课后思考题体现了向量减法在实际生活中的应用，实现了课堂知识在课外的延伸。整节课教学材料的选择安排符合学生的认知规律，可以有效提高学生数学思维的参与度，帮助学生逐步学会思考。
根据本课特点及学生情况，教学中教师通过创设情境，设置问题，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究、合作交流，实现动眼、动手、动脑操作来达到对知识的发现和接受。
围绕本节课的教学重点，教学过程中以问题为驱动，逐层递进，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入。通过思考题，以“问题串”形式组织教学，通过探究，引导学生思考、归纳、总结。
例题、练习、变式题的设置从浅入深，课后作业分层布置，设置为巩固型、思维拓展型两个阶段，为不同认知基础的学生提供相应的学习机会。在教学过程中，反馈应体现在学生对于课堂所学知识的反馈，同时也体现在教师对于学生解题过程中的诊断性评价。例题的自主完成要给学生足够的时间，通过学生板演反馈知识内化情况。通过反馈教师给予学生更有针对性的指导帮助，从而真正实现知识的内化。
教学过程
教学过程结构图如图1所示。
学生能较好地回答上述问题。
复习过程中教师强调向量相关概念，并引领学生复习向量加法的两种法则及各自特点。
【设计意图】将知识的复习融入一道题目之中，巧妙地安排设问，复习相关概念并巩固了向量加法的两种法则，为后续的教学做好准备。
2．提出问题，创设情境
正如教材的第二章扉页上所说，“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限。”通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了运算给予向量的力量，在此基础上我们学习向量减法。
思考1:（1）如何定义向量减法？用怎样的符号表示呢？如何理解向量的减法及其几何意义？
（2）我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数。类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？
（3）一架飞机由天津到香港,再由香港返回天津, 飞机的两次位移分别是什么?
（4）在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？
（5）两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？
（6）结合以上特点，你能否在正六边形中，找到也具有这种特点的两个向量？
（7）满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量。 用怎样的数学符号表示呢？
学生对以上问题进行较完善地回答。
【设计意图】 问题串的引入符合学生的认知规律，从加法到减法的过渡自然流畅。问题以类比减法运算的方法提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活及物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣。教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结，同时在正六边形的复习题中得以应用，形成呼应。知识的形成并非强加给学生，而是让学生自主发现探索，符合最近发展区原则。
3．探索新知，深入研究
在学习中我们发现向量的加法和减法是有机联系的一个整体，密不可分。下面我们来一起完成思考4，总结对比向量加法和减法运算。
【设计意图】本环节设置力求让学生较为系统掌握加减法的本质及内在联系，提升认识。
思考4：
（1）拔河比赛甲队胜于乙队，你能通过向量的知识来解释吗？
（2）江淮流域发生了大洪灾。一条自西向东流淌的大河，在其南岸发现对岸的堤坝处有险情，救险队员坐船从A处出发垂直向对岸驶去，才能到达险情发生处（如图7）。已知船速、水速，
①求船实际航行速度的大小及方向；
②如果是正对岸出现险情（如图8），该如何确定其航向？对你有何启发？
【设计意图】问题解决部分，从生活实例出发，拔河比赛的场景设置激发学生的学习兴趣。在向量加法运算的学习中，运用向量加法的平行四边形法则解决了堤坝抢险的实际问题。在向量减法运算的教学中改变险情位置，提出该如何确定航向的相关问题，体现向量减法运算的实际应用，学以致用，让学生感受到数学服务于生活，且有着广泛的应用。学生课上提出解题思路，具体求解结果留作课后解决。
6．小结升华，布置作业
本环节由学生发言，畅谈这节课的收获与疑惑，并相互评价。最后教师进行归纳、总结、提升，具体总结情况如图9。
参考文献：
[1]中华人民共和国教学部制定.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社，2006年6月。
[2]普通高中课程标准试验教科书数学必修4 [M]．人民教育出版社A版，2007（02）月第2版。
[3]普通高中课程标准试验教科书数学必修4 教师教学用书[M]．人民教育出版社A版，2007年4月第2版。