鲁达 
2020吉林省中考--25--分值10
如图,△ABC是等边三角形,AB=4cm,动点 A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动， 过点P作PQ⊥AB,交折线AC---BC于点 Q，以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,设点P的运动时间为x(s)(0<X<2),△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm^2).
(1)AP长为 cm (用含x的代数式表示）
(2)当点D落在边BC上时,求x的值
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
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解析：
解:(1)∵动点P从点A出发,以2cms的速度沿AB向点B匀速运动,∴AP的长为2xcm
也可以借助PD=PQ建立方程求解，则不需证明全等，详细分析见视频。
2)当点D落在BC上时,如图1,BP=AB-AP=4-2x
△PQD等边三角形,△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠DPQ=60°
∴∠BPD=30°
∴∠PDB=90°,
∴PD⊥BC,
∴△APQ≌△BDP(AAS),
∴BD=AP=2x
∵BP=2BD,
∴4-2x=4x,解得y=2/3
3)①如图2,当0<x≤2/3时
图2 在Rt△APQ中,AP=2x,∠A=60°,∴PQ= AP.tant60°=2√3x
∵△PQD等边三角形
∴y=0.5X2√3xX3x=3√3x^2,
②当点Q运动到与点C重合时，此时CP⊥AB,所以AP=0.5AB,即2x=2,解得x=1
所以当2/3<x≤1时,如图,设PD、QD与BC分别相交于点G、H
图中证明方法详见视频
③如图,当1<x<2时,点Q运动到BC边上,设PD与BC相交于点G
此时PG= BP.sin60°=(4-2x)X√3/2=√ 3(2-x)
∵PB=4-2x,
∴BO=2BP=2(4-2x)=4(2-x)
∴BG=ABP=2-x,
∴QG=BQ-BG=3(2-x),
∴重叠部分的面积为 S△PQG=1/2×PG*OG=3√3/2*(2-x)^2
综上所述:y关于x的函数解析式为:
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