【两直线垂直斜率】对一道椭圆调考题的多角度思考

武昌区2018届高三5月调查考试文科数学第20题，第1题证明两条直线相互垂直，第2题点的轨迹方程。

1、试题解析

【解析】（1）证明两直线互相垂直，可以用斜率互为负倒数证明，也可用向量数量积为零来证明，相比向量方法略胜一筹，下面给出向量证法。

评注 法3也可改用圆的定义法求解，方法大同小异。

2、试题评价

观点1：试题两问第1问难第2问易，试题先难后易头重脚轻，不符合先易后难的命题原则。第1问证明两直线垂直，可用斜率法和向量法求解，主要考查用方程思想处理直线与圆锥曲线的位置关系，考查一元二次方程根与系数的关系，着重考查运算求解能力。第2 问求轨迹方程，解题入口宽泛方法灵活多样，可用交轨法、向量法、几何法或定义法求解。

从命题设问来看，第1问证明两直线垂直表达过于直接，从解法来看，无论是用斜率法还是向量法求解运算量相对于第2问明显要大得多。另外，由于本小题是一道证明题，考生可以投机取巧，只列算式而不进行真正的运算满天过海而得满分，这对老实运算求解的考生来说似乎有些不公平不公正，似乎影响命题的区分度。

观点2：一份试题总体上设置布局呈现先易后难趋势，一个大题中的小题难度设置也基本遵循先易后难的原则，但难度并非直线上升，大题与大题之间难度设置大体上呈现波浪式螺旋式规律。但个别大题的小问之间先难后易也未尝不可，这样可以考查考生处变不惊的心理素质和先易后难的解题策略，以及跳步作答灵活解题的思想方法。另外，一份试卷一个试题对于所有考生来说不管难易如何质量好坏每样都是公平的，无所谓投取巧之说。

3、试题改编

笔者根据本题解法和上述试题评价，为了更好地体现试题的选拨功能，体现公平公正的原则，确保试题有区分度，同时考虑到本题是一道压轴题，命题设计举足轻重，注意考生心理需求让考生平稳应考，遵循先易后难能力立意的命题原则，现将试题改编成第1问为求点的轨迹方程，第2问改为向量数量积是否为定值的探索题，改编后的题目如下：