鲁达 数列是高中数学的难点，出现在高考最后一题的机率非常大，难度非常之高。
众所周知，高考数学最后一题，是横亘在一流名校面前的一道难以愈越的门槛。
解决最后一题对“数学思想”与“创新能力”有较高的要求。
数列是一种特殊的函数，用函数的观点来认识数列是一种极为重要的方法！
函数在现代数学中最为基础、最为核心的数学工具，无论考虑哪一个数学分支的问题，首先要想到的就是“函数思维”。
数列可以看成是一种特殊的函数，它的特殊之处在于二者的“定义域”和“值域”不同：
数列在坐标系上的图像是离散的，而函数的图像一般是连续的曲线。
数列是一种“离散型”的函数，“项的序号”就是函数的“自变量”，“项”就是函数的“值”，而“通项公式”就是“函数解析式”。
在“函数思想”的大框架下，还要善于用好“数学归纳法”这个武器。
首先一点，公式必须熟记，只有在熟背并透彻理解公式的基础上，才有可能去谈用什么样的“数学思维”与解决具体问题。
每一个公式都来之不易，从提出到被证明，经历了漫长的岁月，耗费费了无数学家们的心血！
只有带着崇敬与感恩之心，才能感受到公式中哲人们那激荡的灵魂和狂热的心跳。
我们跳过哲人们在暗黑中艰辛探索的过程，直接站在了巨人的肩膀上眺望更加遥远的未来！
对于数列来说，数学家们早就为我们总结出了它的“定义”和“通项公式”。
“通项公式”与“定义”相比之下，“定义”永远是研究数列的最佳入口。
因为，“定义”可以推导出“通项公式”，但“通项公式”却不一定能推导出“定义”，也就是说：“通项公式”是“定义”的“必要条件”而不是“充分条件”。
比如等比数列的“通项公式”有可能推导出不符合“定义”的数列，即：由等比数列的“通项公式”有可能推导出“非等比数列”。
熟背了数列的“定义”与“通项公式”之后，接下来用“数学思想”进行深入地分析，而“数学归纳法”是学习与研究数列最有力的一种“数学思想”！
“数学归纳法”既是学习高中数学的重要数学工具，也是大学学习与研究数学的重要工具。
理解“数学归纳法”本身就是一个难点，但是一旦掌握，就会成为学习数学所向披靡的利器！
什么是“数学归纳法”？
“数学归纳法”是一种“数学证明方法”，既是一种“思维方法”，也可以是一种“数学工具”。
用通俗的语言来这样描述：“一题多解，多解归一”。
更为深入的描述可以这样：由“一般性”的规律向“特殊性”推理，然后由“特殊性”总结出“一般性”的规律，再以这个“一般性”推向“特殊性”……如此反复演泽，推陈出新，有益于对数学知识架构更容易理解透彻。
“数学归纳法”分为两种，一种是“完全归纳法”，另一种是“不完全归纳法”。
①举个“不完全归纳法”的例子：著名的黎曼猜想，就可以看作是用“不完全归纳法”得出的猜想。
所谓的“不完全归纳”就是根据一些“特殊例子”，推出“一般规律”，但这个规律却“暂时”无法证明。得出的结论虽然并不可靠，但是依然可以利用它。
“黎曼猜想”吸引着无数数学家为了证明它而沉迷其中。
②举个“完全归纳法”的例子：著名的“斐波那契数列”就可以用“数学归纳法”证明。
斐波那契数列是一个神奇的数列，组成“美丽的螺旋纹”，被称为“上帝的指纹”。
这样一个神秘的数列，仿佛是造物主故意泄露的密码。
斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
可以看出，它既不是等差数列，也不是等比数列。
在数学上，斐波纳契数列是以“递推方法”定义的一个“线性递推数列”，是一个用“无理数”表示“有理数”的一个范例。
有意思的是，随着“项”的序号往后推移，前一项与后一项的比值越来越逼近“黄金分割0.618”。
斐波那契数列在现代物理、化学等领域有着广泛的应用。而大自然里按斐波那契数列组成的神秘螺纹奇观比比皆是。
比如向日葵花籽，其排列方式暗合斐波那契数列的分布规律。
不得不感叹大自然的神奇！
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