三角函数是最基本的初等函数之一，是以角度(数学上常以弧度制为基础)为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标为应变量的函数。所以，我们要想理解三角函数，得从如下几个角度入手。
①特殊三角形中的三角函数我们在初中(我之前的文章也有提过)学习过三角函数的入门知识。如下图：即三角函数的定义，正限制是什么？余弦值又是什么？正切值又是什么？看图可以知道，正弦sin表示对边比斜边，而余弦cos表示邻边比斜边，正切tan表示对边邻边。这是最基本的概念，我们不需要知道为什么？因为数学家就是这样定义的，接下来我们要用这个概念了解任意角的三角函数。
②任意三角函数，加坐标系，引入单位圆是基础了解了三角函数的基本定义是不够的，因为有的小伙伴发现无法求出sin167°的值。那么如何才可以求出呢？细心的朋友会发现，哎，不对啊，我们初中了解的知识不是完整的函数啊，只是其中的特殊例子，所以无法普遍应用很正常啊！那么今天我们就来正真了解一下三角函数。首先，把三角形放入坐标系中，如下图。接着引入单位圆(单位圆，斜边为1)，我们会发现∠BOC的正弦值就等于B点的纵坐标，而它的余弦值就是他的横坐标。于是乎：B(cos∠BOC,sin∠BOC)
③任意角三角函数定义我们以OX为始边(X轴正半轴)，O为轴心，开始逆时针旋转，OX与圆交点为C。我们会发现，当旋转角度为0°-90°时，就是我们初中接触过的三角函数，而大于90°小于180°的时候，就成了钝角的函数了。钝角的函数怎么求呢？我们通过上面结论，知道终边与圆的交点坐标就是旋转角度的正弦和余弦值。而在0°到180°，钝角的函数值都有锐角与其关于Y轴对称。而由对称知识可知，关于y对称，Y坐标不变，而X坐标互为相反数。即正弦不变，余弦互为相反数。即sinX＝sin(180°-X)，cosX＝-cos(180°－X)，得到这点，我们就可以把任意钝角转化为锐角，就可以求出其函数值了。于是有sin167°＝sin13°
④两个特殊例子根据上面的思维，我们继续分析。
当一个角分别加90°，180°时，结果又会如何呢？先加90°，我们会发现(看上图)这是它的终边交点坐标与之前角度相比有了变化。什么变化呢？仔细看一下会明白它的纵坐标是原图的横坐标，而横坐标是其纵坐标。于是可得公式:sinx＝cos(90°＋x)cosx＝sin(90°＋x)再来看180°的图形(下图)，我们发现加180°之后，两个交点关于原点O对称。又初中对称知识可知，关于原点对称的两点，其横纵坐标互为相反数。于是，sinx＝-sin(180°＋x)cosx＝-cos(180°＋x)
⑤弧度制三角函数是以角度为自变量的，为了方便运算，引入了弧度制。那么什么是弧度制呢？(看下图)弧长与半径的比就是弧的度数，于是180°的弧对应的弧度是π，90°＝π/2，60°＝π/3
⑥几个基本的公式有了上面的基础，我觉得你看下表就应该可以看明白了吧！学三角函数的时候，老师都会给大家讲解公式的推导。有的朋友看一下不懂，就觉得把公式记住就可以了。于是，他就开始记下面的公式，然后经常出错。上面我给大家讲解了一下思路，希望大家按着这个思路把下面公式一个一个自己弄出来，这样我觉得你的三角函数这块就没多大问题了。
⑦思考题求出下面各函数值sin135°，cos135°，sin225°，cos225°欢迎大家评论区留言，我会第一时间回复大家。我是蓝色阿狸，记得关注我哦！有不明白的地方私聊我！
鲁达 发布于 2023-05-29 