鲁达 钢琴有88个键，笛子也至少有六个孔，而小号只有三个活塞阀，为什么能演奏那么多音符？精致闪亮的管乐器和粗重黑灰的汽车排气管，二者居然有原理相通的地方。
撰文 |吴进远（美国费米国家加速器实验室）
周末，我和室友泉余、我心目中的女神珍旭班长到她爷爷奶奶家里蹭饭。（我们三人以前的故事可戳“七声音阶”“十二平均律”。）她的爷爷奶奶从渔村里的文艺骨干，凭精湛技艺和积极学习，逐渐到县里和省里工作。又经过刻苦进修和专业深造，爷爷现在是炉火纯青的铜管乐演奏家，奶奶是功力醇厚的歌唱家。
01
汽车消音器和管乐器有啥共同点？
爷爷奶奶见到我们，笑得非常开心，我们也受到感染不再拘谨了。我被书柜里爷爷手持小号的一张半身照吸引了：“爷爷好帅呀。”我由衷赞叹道。
“哈哈哈，老了，老了。”
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“爷爷，”泉余室友请教：“您的小号上有三个活塞阀，这是做什么的？”
“小号上的活塞阀是用来改变管道长度的。”爷爷讲解道：“每按下一个活塞阀，就会把一小段管子加入整个气路，起到增加乐器总长度的作用。第一个阀使音调降低一个全音，第二个降低一个半音，第三个降低三个半音。”
“可是，”泉余室友疑惑地问：“钢琴有88个键，笛子也至少有六个孔。而您的小号上只有三个活塞阀，为什么能演奏那么多音符呢？”
“是呀，”我也有疑问：“我看小号演奏家演奏一段旋律里面不同音符的时候，有时候手指动，有时候不动，这是怎么回事呀？”
爷爷愣了一阵，显然是我们的问题层次太低了，让爷爷一下子不知从何说起。于是他拉开小柜子抽屉拿出车钥匙：“走，看来要先带你们去我的工作室做点实验了。”
“早点回来，”奶奶说：“别耽误了吃饭。”
我们坐在车里，爷爷把车开起来，然后问我们：“你们听得见发动机的声音吗？”
“仔细听能听得见。”
“汽车发动机的声音是很吵的，可是为什么城市里的汽车不那么吵呢？”
“这是因为汽车都安装了消音器，”泉余室友说：“我们宿舍保安赵师傅的车，前一阵消音器前边的排气管生锈破了一个洞，开起来像摩托车。每天中午他都提前把车挪走，免得下班时，赶上同学午休，吵着大家。”
“那么消音器为什么能降低汽车发动机的噪声呢？”
“难道它会把噪声堵回去？可是，为什么它不会把发动机的废气堵回去呢？”
“你说的基本对，”爷爷说：“汽车的消音器是一个大铁桶，发动机的废气通过一根管道，进到铁桶里来。铁桶后面又焊了一根管道，让废气排到外边。发动机的噪声，就是被排气管道的这些进口和出口反射回去的。”
汽车排气管
“管道里的声音，会被管子的出口反射回去？”泉余室友不解。
“是的，”爷爷解释道：“我们直觉上认为，管道里的声音只会从管道的出口跑到外面，实际上，跑出来的是一小部分，很大一部分会被反射回去。”
“爷爷您这样解释我就明白了。”珍旭班长说：“您以前对我讲，声音在管乐器里来回反射，形成共振。我总是想不通，总觉得声音到了管乐器的出口就会跑到外面。现在我知道了，其实还是会有不少反射回去的。”
哇，真想不到，精致闪亮的管乐器和粗重黑灰的汽车排气管，二者居然有原理相通的地方。
02
闭管与开管的谐振频率
在爷爷的工作室，爷爷拿出一支圆珠笔，让泉余室友把笔管取下来。泉余室友熟练地把圆珠笔拆散，把笔管拿到嘴边“吱吱”地吹响。
珍旭班长高兴地念起了一首儿歌：“柳条青，柳条弯，柳条垂在小河边。折枝柳条做柳哨，吹支小曲唱春天。”
“听这儿歌就知道小姐姐是个好学生。”泉余室友打趣道：“对于我这样的捣蛋鬼，是：上课无聊吹笔管，老师批评同学烦。”
“哈哈哈，”爷爷笑道：“从音乐上讲，柳哨和笔管都是管乐器，可以算殊途同归吧。”
爷爷知道我的手机上有一个观察频谱的软件叫Spectrum View，让我点开，又让泉余室友堵住笔管一端吹响，手机屏幕上出现了这么一个频谱。
频谱上横坐标是频率，纵坐标是强度，每一个尖峰代表一个谐振频率。笔管长度大约9厘米，第一谐振频率870Hz左右。有意思的是，对于一端堵住的管道，其频谱上只有奇次倍频的谐振尖峰，而没有偶次倍频。
当笔管两头都开放时，声音的频谱是这样的。
这时我们看到谐振尖峰中只有偶次倍频，没有奇次倍频。当然我们也可以定义F=2f，这样频谱上的这些2f，4f，6f，8f倍频的尖峰，就可以看成：1F，2F，3F，4F，也就是说，是F的整数倍频。
“这是怎么回事呀？为什么把管道的一端堵住或者放开会有不同的谐振频率呢？”
爷爷指着墙上挂着的两张图，慢慢地给我们讲解。
对于柱状的管道，一端堵住，谐振的时候里面声波压强的微小变化是这个样子的。
在左边封闭这一端，压缩的空气无法运动，因此压强变化为极大。而右边开口这一端，管道内空气与外界大气相连，压强的变化基本为0。这样一来，当管道长度为声音波长的1/4，3/4，5/4等倍数时，管道内往返反射的声波互相加强而谐振。这就是为什么一端堵住的管道，其频谱上只有奇次倍频的谐振尖峰。
两端开放的管道，谐振的时候里面声波压强的微小变化是这个样子的。
这种情况下，在管道的两端，空气与外界大气相连，压强的变化基本为0。这样一来，当管道长度为声音波长的2/4，4/4，6/4等倍数时，管道内往返反射的声波互相加强而谐振。这就是为什么两端开放的管道，其频谱上只有偶次倍频的谐振尖峰。
03
八度超吹和十二度超吹
“这些性质，在我们平常小孩学的管乐器里头能见到吗？”泉余室友这次虚心了。
“我小时候学过几种管乐器，很好奇为什么有的乐器是八度超吹，而有的是十二度超吹。”珍旭班长说：“现在看来，是管道谐振频率的性质决定的。”
“什么是超吹？”
“超吹是管乐器里一种演奏高音的方法。”珍旭班长解释道：“比如一般的竹笛，上面有六个音孔，这样一共可以演奏‘多’到‘西’七个音，显然不够用。需要演奏高音的时候，演奏者就会吹得使劲一点，这样笛子就会发出高八度的声音了。这种演奏技巧就叫做超吹。”
高八度是指频率增加为原来的2倍，笛子里的空气是一个截面不变的柱状体，在吹孔和音孔分别与外界大气相连，所以是一个两端开放的管道。嗯，明白了，正常吹的时候，空气柱的谐振频率对应于上面频谱中的第一个尖峰（2f=1F）。超吹的时候，激励起了第二个尖峰（4f=2F）。所以频率加倍。
“超吹的时候，频率一定加倍吗？”
“不一定，”珍旭班长说：“比如单簧管，它里面的空气是一端封闭的柱体，所以超吹的时候，频率从1f变成3f，这叫做十二度超吹。”
“频率从1f变成3f，为什么是十二度？”泉余室友一下没有反应过来。
“这个我知道，”我抢答道：“这种三倍的频率关系在音乐上对应十二度音程，比如把1F唱成‘多’，2F对应于高音‘多’，3F是继续往上走，对应于高音‘嗦’。与‘多’之间是十二度音程关系。”
我在白板上画了一个图。一个频率的很多整数倍频（除了7和11以外），都能对应一个音符，我觉得原始人就是这样认识音符的。当然人们历史上用三分损益或者五度相生法，后来又用朱载堉的十二平均律来重新确定音符的音高，这样有些频率关系就变成近似的整倍数关系了。当然，2，4，8，16这样的高八度关系始终是整倍数，没有变。
04
欲造好乐器，先钻牛角尖
“爷爷，”珍旭班长说：“我没有学过双簧管，但听说双簧管是八度超吹。我不明白了，双簧管和单簧管都是一端封闭呀，为什么双簧管不是十二度超吹乐器呢？”
“我们前面的讨论中有一个前提条件，那就是这个管道是截面不变的柱形体，单簧管的管道就是这种上下一般粗的柱体。如果管道的截面粗细变化了，情况就不同了。”爷爷说着，从柜子里拿出一个乐器盒，打开给我们看。
双簧管
双簧管不用的时候，是拆成四节放在乐器盒里储存携带的。双簧管分解开之后，可以看出从簧片到扬音口，管内的空腔逐渐地变粗，近似一个锥形体。
“当我们把闭合管开口的那一端直径变粗时，”爷爷解释道：“管道的等效长度变短了，原来1f和3f这些谐振频率就会上升。在一定条件下，这两个谐振频率之间的比值就会达到1:2，这样双簧管就可以实现八度超吹了。这种内部空腔为锥形的乐器还有巴松管、萨克斯管等等。”
“单簧管和双簧管，都是黑色木头制成的管乐器，但却是非常不同的，不能都叫成黑管（黑管是单簧管的俗称）。”泉余室友说：“它们在乐队里经常被安排在一起，我很长一段时间傻傻分不清。后来高中老师告诉我，吹嘴比较粗，演奏起来像吃冰棍的，是单簧管。吹嘴比较细，演奏起来像喝汽水的，是双簧管。”
“如果我们更进一步地把管乐器的内腔变成完美的锥形体，则所有的谐振频率都会变成1f的偶数倍，或者说2f的整数倍。”爷爷指了指另一面墙上的图让我们看。
完美的锥形体，看着像是一个拉直的牛角。原始人类把牛角掏空，在牛角尖上钻一个洞，就可以获得音准相当好的一个管乐器，而不需要现代乐器制造中虽然高超精密，但却相当繁琐的调音定调工序。
05
什么是铜管乐器？
“爷爷，”珍旭班长说：“我们聊了很多木管乐器，到现在您还没有给我们讲铜管乐器。”
“铜管乐器和木管乐器有不少相通的地方。”爷爷说：“他们都是靠管道当中的空气产生谐振来发出声音的，不同的地方是激励空气振动的方法不同。铜管乐器是靠嘴唇吹气时振动来激励管道内空气谐振的。”
“管乐器靠两种方法确定频率：一是空气柱体或者锥体的长度，二是从多个谐振频率中挑选需要的激励发声。木管乐器主要靠改变长度来演奏不同音符，偶尔靠超吹来选择高八度或者高十二度的谐振频率来拓展乐器的音域。铜管乐器正好反过来，主要靠选择不同的谐振频率来演奏不同音符，而改变管道长度则是相对比较辅助的方法。近代的铜管乐器往往安装了三个或四个阀门，通过按下阀门改变管道长度，以此来填补这些谐振频率之间缺失的音符。”
“所以，你们在铜管乐器上看到可以按的地方非常少。早期的很多铜管乐器，压根就没有可以按下去改变管道长度的地方，这种乐器称为自然长度乐器。”
一种自然长度小号│作者拍摄于维也纳技术博物馆
“实际上现代的很多铜管乐器，比如军号，上面既没有阀门，也没有音孔，完全靠这样一个固定长度的管道，就可以至少演奏出‘嗦多咪嗦’四个音符，它们分别对应3F，4F，5F，6F这几个谐振频率。”
军号│作者拍摄
“对于铜管乐器来说，还有一个极为特殊的地方。”爷爷接着解释：“因为我们演奏铜管乐器的时候，都是用嘴堵住吹口，所以铜管乐器都是一端封闭的管道。如果管道是粗细均匀的柱形体，它就只能得到1f、3f、5f等等奇数倍频，这样可以演奏的音符就太少了。因此必须想办法获得整数倍频序列的谐振频率，也就是1F、2F、3F、4F等等。”
“所以我们看到很多乐器，像上面这个军号，直接就采用了锥形的设计方案，管道的直径线性增加。如果是像小号或者圆号这种有很长一段柱形管道的乐器，就更要在尾部连接一段直径逐渐增加的出口。”
小号号管制作过程│作者拍摄于维也纳技术博物馆
“现在的铜管乐器大多数是用黄铜做的，但很多用其他材料做的乐器，比如牛角号、螺号其实都是铜管乐器。反过来，有些用铜做的乐器，比如长笛、萨克斯管等却是木管乐器。”
06
螺号之谜与圆号手的手
“爷爷，”泉余室友问：“您和奶奶当年用螺号合奏过《海上女民兵》是吗？”
“哈哈哈，”爷爷拍拍珍旭班长的头：“这个小妞，总喜欢拿老辈人的故事八卦。”
“不不不，”泉余室友说：“我不是为了八卦，我是想弄清楚这里面的音乐知识。”
“讲讲看。”
中国曲谱网
“我觉得，《海上女民兵》前面四句的音乐是您和奶奶用螺号的对话。”
（爷爷：）头戴金色的斗笠，
（爷爷：）脚踏绿色的海浪，
（奶奶：）身背银色的螺号，
（爷爷：）手握闪亮的钢枪。
“这个想象满有意思。”
“螺号像牛角号一样，是自然长度的乐器。而且管道的直径也是逐渐增加的，因此技巧好的演奏家应该可以吹出‘嗦多咪嗦’这四个音符。”
“这首歌第三句比较容易理解，这句里用到‘多发啦多’四个音符，其实这四个音符就是奶奶那支海螺发出的‘嗦多咪嗦’，只不过是在不同的调里，可以唱成‘多发啦多’。”
“对。”
“可是第一第二和第四句中，除了‘嗦多咪嗦’，还有很多地方用到了‘来’这个音符，您用螺号，怎么能吹出原来没有的音符呢？”
“哦，这个不难，”爷爷说：“你把手拢在螺号口，按照‘咪’来吹，螺号口外边的手起到增加螺号等效长度的作用，把‘咪’这个音符降低，就可以得到‘来’了。”
“其实，”爷爷接着解释：“这种技巧在圆号演奏中应用得非常广泛。”
“早期的圆号是打猎时用的，莫扎特的《第四圆号协奏曲》听过吗？是不是挺热闹的？”
自然长度圆号│作者拍摄
莫扎特：第四圆号协奏曲第一乐章
“早期圆号是自然长度乐器，管道的长度固定。因此能够演奏的音符有限，对于打猎来说，这些有限的音符够用了，但编入管弦乐队就嫌少了。于是那个时期的演奏家就发明了一种叫做‘阻塞’的方法，就是把手放在圆号的出音口里面。这样就相当于增加了圆号的管道长度，相应地降低谐振频率，从而得到原来没有的音符。”
圆号演奏家右手位置│作者拍摄
“现代的圆号有三个或四个阀，通过改变管道长度，已经可以演奏任意一个音符。但是圆号的这种右手技巧，仍然保留到现在。”
“哒滴哒，哒滴哒，哒哒哒哒——，滴哒哒滴滴，滴哒哒滴滴，哒哒哒哒滴——”爷爷手机里奶奶来电的铃声是他自己吹奏的《冲锋号》加《骑兵进行曲》。是奶奶在催我们回去吃饭了。
07
小 结
“怎么样？”吃饭的时候，奶奶问：“去爷爷那里学到什么了？”
“学到了东西可真不少，我现在明白了。”泉余室友说：“铜管乐器即使长度固定时，也能吹奏出和谐泛音中的一系列音符，也就是基频的2、3、4、5、6、8、9、10、12倍（基频以及7、11倍频通常不用）。现代铜管乐器上通常有三个或四个阀门，按下这些阀门就可以接入一段管道，让整个和谐音列中所有音的频率都按照一定的比例下降。这样，大多数铜管乐器只需要用三个阀，就可以覆盖中音区域的所有音符。”
“总结得不错。”奶奶表扬道，然后伸出筷子夹菜：“来，奖励一个鸡腿。”