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三角函数中正弦曲线的可视化直观解释 第三部分

翻译小组成员介绍: Alex

Alex,英语爱好者,现工作于洛阳

文章: be

译者: Alex 校对: 向海飞

正弦与微积分 Geeking Out With Calculus

用微积分描述正弦曲线/正弦波。如同 e,正弦波可以分解为更细微的起伏:

  • 正弦波从0开始以单位速度增长
  • 此过程中,一个相反的加速度企图将它拉回原点

该如何理解这个过程?上述力量如何改变正弦波离原点的距离?

  • 初始推力使得距离线性增长:y (离原点距离) = x (时间)
  • 随时受到一个大小为 -x 的反方向作用力。通过双重积分,将负的加速度转换为距离:

加速度对距离的影响如同上例中工资增幅对银行账户的影响。“工资增幅”势必改变收入,而收入又改变银行账户(两个改变累‘积’发生作用)。

因此,不难猜到,x 秒之后正弦值为 x(初始值)减去 x³/3!(负加速度的影响):

但是,好像哪里出错了 -- 正弦是一个平稳的过程,并不会骤然下降!e是 通过“增长产生增长”的模式逐渐缓缓递增的,正弦实质上也一样。“反作用力”使正弦离原点的距离减小 x³/3!,而这个‘减小’又产生了另外一个“反作用力”。观察弹簧不难发现:拉伸的弹簧向平衡点运动,然而它在向下回弹时又会越过平衡点,继而产生一个向上的拉力(同理,弹簧在向上回弹时也会越过平衡点)。疯狂的弹簧!

每一个“反作用力”都需要被考虑到:

  • y = x是初始状态,产生一个“反作用力”
  • y = -x³/3!,产生一个“反作用力”
  • y= x^5/5!,产生一个“反作用力”
  • y = -x^7/7! ,产生一个“反作用力”
  • ......

正弦波的优化模型

如同e,正弦可以描述为一个无穷级数:

当我将正弦看作初始推力和反作用力的组合时,这个公式就容易理解了。初始推力(y=x,正方向)最终会被反作用力超过,而这个反作用力最终又会被它自己的反作用力所超过,周而复始,无限循环。

余弦与微积分 - The Calculus Of Cosine

余弦是位移后的正弦。既然已经理解了正弦,余弦当然不在话下!

  • 正弦:开始于0,初始推力为 y = x (100%)
  • 余弦:开始于1,无初始推力

所以,开始时余弦待在1这个地方,静候反作用力来推:

同理, 我们对-1双重积分得到第一个反作用力-x²/2! 。这个反作用力产生了第二个反作用力,第二个又产生了第三个...结果就得到下面的式子:

定义3:微分方程 - Definition 3: The Differential Equation

上式用特定的方程描述正弦。其实,一个更简洁的方法是用微积分方程:

WolframAlpha查询结果

这个公式极具数学之美:

  • 初始位置为 y
  • 加速度(二阶导数y'')与当前位置相反(-y)

这个公式在正弦和余弦里都能得到验证。可是,一开始我是拒绝这个定义的。它和正弦的形象简直差之千里。然而,我没意识到它揭示了正弦的实质(“与当前位置相反的加速度”)。

正弦和 e 相互关联,而且e^x可用下式表述:

与正弦公式相似,只是符号变为正,即“加速度与当前位置相等”。然而,如果正弦仍然被表述为“圆内高度”,那么我们很难将它和 e 联系起来。

我很遗憾没有学好微分方程。但是现在我想学了,因为微分方程使得正弦表述起来更简洁,并且我觉得对正弦和e拥有直觉对学会数学尤为重要。

总结 - Summing It Up

本文目标是展示更多更多正弦的内容(基本的图形和的概念),而不是数学中一个微不足道的角色(圆的一部分)

  • 正弦是在极大值(1)和极小值(-1)之间的平稳摆动。从数学角度看,就是加速度与当前位置相反。这个“负增长”使得正弦永不停歇的摆动下去。
  • 正弦并非圆的一部分,只是碰巧出现在了圆和三角形里(弹簧,钟摆,琴弦震荡,声波等都是正弦波)
  • pi是sin(x)从中间位置出发然后又回到中间位置所需的时间。同样地,pi并不属于圆,也碰巧出现在圆里罢了。

把正弦装进“头脑工具箱”(以便用于产生平滑运动)。最终,我们将直观地理解这些基础概念(e,pi,弧度,虚数,正弦等等),并用它们做出一道美味的数学“大餐”!享受吧!(完)

「予人玫瑰, 手留余香」感谢支持遇见数学!

责任编辑: 鲁达

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