什么叫重根 什么叫k重根 什么叫重根?

什么叫重根？这是一个关于代数数域的基础概念，在数学中具有重要的作用。下面将从代数数域、多项式、代数拓展和重根的定义等方面展开讲解。

一、代数数域

在数学中，代数数域是指由有理数域通过在其上连续地进行有限等次的加、减、乘和取乘方运算而无限地扩展出来的域。常见的代数数域有有理数域Q、实数域R、复数域C等。

二、多项式

多项式是代数学中的基础概念之一。由于数域中常用的是有理数域、实数域和复数域，下面我们以复数域作为例子来理解多项式。

复数域上的多项式，可以写作P(x) = a? + a?x + a?x2 + ... + anxn，其中a?,...,an(generally n is a non-negative integer)是复数。我们称x为未知数，ai为系数，而系数为0的项我们称之为零项。例如，P(x) = x2 + 2x + 1，其中a? = 1，a? = 2，a? = 1。如果把x看成变量，那么多项式P(x)就是一个函数。

三、代数扩展

代数扩展是指在一个子集上通过加、减、乘和取乘方运算，得到一个代数数域的过程。举个例子，有理数域Q扩展到实数域R的过程、实数域R扩展到复数域C的过程等都是代数扩展。

四、重根的定义

现在，我们开始学习重根的概念。一个代数数域上的多项式P(x)在x?处有m重根，指的是P(x)除以(x - x?)?的余数为0且除以(x - x?)?的余数不为0，其中n小于m。如果m=1，我们称之为单根。

也就是说，对于多项式P(x) = (x - x?)? Q(x) + R(x)，其中Q(x)和R(x)分别是多项式且R(x)在x?处没有根。那么，x?就是P(x)的m重根。

五、重根的性质

对于多项式P(x)，如果x?是它的m重根，那么下面两个条件成立：

• 在x?处，P(x?)=P'(x?)=...=P???1?(x?)=0，其中P??? 表示P(x)对x取n次导数后的结果。
• 如果有另一个多项式Q(x)，满足Q(x?) ≠ 0，那么P(x) / Q(x)在x?处有m重极点。

通常来说，一个多项式的根的数量应该与它的次数相等。然而，在某些特殊情况下，不同的根可能是重根，这时，我们就需要认真区分它们。

六、实例分析

下面通过实例来进一步理解重根的概念。有一个多项式P(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1，如果我们将它因式分解，可以得到 (x - 1)3。

因此，这个多项式在x=1处有三重根。为了验证这一点，我们可以计算P(1)、P'(1)、P''(1)和P'''(1)，得到它们都等于0。

七、总结

重根是代数学中的一个基础概念，是描述多项式根的一种方式。它的定义和性质在数学中具有广泛的应用。通过本文的介绍，相信读者对重根已经有了更深入的理解和掌握。