调和级数为什么发散

调和级数是指一种无限级数，每一项都是分数形式的递增数列。调和级数的通项公式为：$H_n= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}$. 调和级数自然数越大，分数就越小，因此看似无限趋近于0，但它却是发散的，下面我们来探究一下其原因。

调和级数的收敛性

要了解调和级数为什么发散，首先需要了解调和级数的收敛判断标准。对于一般变号级数，若其正项级数收敛，负项级数也收敛，则该级数收敛；若其正项级数发散，负项级数也发散，则该级数发散；若正项级数收敛而负项级数发散，则该级数为条件收敛。

那么，对于调和级数，它可以表示为下面两个部分的级数之和：

$$H_n= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}$$

$$H_{2n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$$

我们可以发现，当$n$充分大时，$H_{2n}$与$H_n$非常接近，因此，我们可以推断出调和级数$H_n$是发散的。下面我们来更具数学的角度来证明一下。

由于调和级数每一项都是递增的，我们可以采用比较判别法来证明它的发散性。令$m=2^k(k为自然数)$，则：

$$\sum_{n=m}^{2m}\frac{1}{n}>\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$$

也就是说，当调和级数的下标在$2^k$和$2^{k+1}$之间时，其值大于$\frac{1}{2}$。所以：

$$H_{2^k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^k}>k\times\frac{1}{2}=\frac{k}{2}$$

这个结论告诉我们，调和级数是发散的。因为当$k$足够大时，无限接近于$\infty$。

虽然调和级数本身发散，但是，它在一些问题中却发挥着很大的作用。例如，它可以用来刻画平均服务时间和平均等待时间。在概率论中，调和级数也起到了较为重要的作用。

总之，调和级数由于其发散性，在许多问题中并不是很实用，但是，在某些情况下，它的应用是不可或缺的。