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ds比dt为什么不是速率

伽利略和笛卡尔去世后,罗马教会对自然科学的打压也强弩之末了,尤其是那些山高皇帝远的地方,比如远离欧洲大陆的小岛—英格兰。在伽利略去世的同年圣诞节,上帝又为人类送来另一位天才的科学家,并把他的出生地选择在英格兰岛。

艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1642—1727),生于1642年圣诞节(儒略历,加10天等于格里历,欧洲大陆当时采用格里历,但是英国仍然采用儒略历;1644年,清兵入关,明朝覆灭)。这位天才出生并不是顺风顺水,他在娘胎里待了4个月左右,父亲就去世了,到了7个月,他就出生了。如果是为了赶上和耶稣同一天生日,那绝对是一个玩笑。因为这冒着天大的危险,牛顿生下来才1.35kg,连正常人的一半都不到。这个可以放到1夸脱(约1100ml)的杯中孩子,在所以人看来夭折不过是早晚的事,然而牛顿却坚强的活了下来,并且坚强的活到了84岁,在物理圈算是高寿的了。

幼年的牛顿和他的外婆一起生活。即便到了少年时期,也看不出他有特别之处,成绩平平,但是动手能力很强,时常做一些小物件,比如著名的“牛顿的风车”。

牛顿的母亲一直希望牛顿安分的做个农民,在这点上,牛顿肯定是让她失望之极。12岁的牛顿选择了上一所皇家中学。由于路途遥远,借宿在一个老师家里。虽然哥白尼、开普勒、伽利略等人的学说和书籍都已经流行,然而教科书显然要晚于时代潮流的,那时候的中学教的还是亚里士多德和托勒密那套。牛顿老师家颇多的藏书正好弥补了缺憾,让牛顿产生很多奇妙的想法。请原谅我的八卦,似乎我对此时牛顿的个人情感比对他的想法更感兴趣。他在老师家邂逅了老师的女儿,并产生爱慕,这个女孩可能是牛顿一生中唯一爱恋的女人。

失望的母亲,一直没有打消让牛顿务农的想法。由于生活拮据,她让牛顿回来照看农场,可惜牛顿放牛牛跑,看猪猪丢,唯一不会不跑不丢的就是手里的书。牛顿的舅舅发现这点,他认为外甥是个璞玉,并鼓励他去大学雕琢一番。

19岁的牛顿告别家乡,前往剑桥大学深造。人生总得有个小目标,但在大学4年里,他把一生想要干的事情,都列在纸上。1664年,牛顿毕业,正当他踌躇满志时,欧洲爆发了黑死病,把他打回了原籍。他待在乡下躲避瘟疫,成了待业无职的闲杂人等。

闲赋在家的牛顿没有闲着,实际上他也没有办法让自己闲下来,说得好听点叫职业精神,不好听点,我觉得就是强迫症。

总之,他的大脑就像浩瀚的星空,灵感就像划过天际的流星,在惊鸿一瞥间,就可将整个星空点燃。1665年5月划过他大脑的那个流星可以称之为流数术,即微积分。

微积分,高等数学入门必修科目。一听到这个名字,总是让人想假装四处看风景。实际上,佶屈聱牙并不是微积分的本意,在精神层面上,它是很平易近人的。试演一二。

假设有个小车在公路上行驶,根据路况,小车的速度不断的发生变化。通过测量时间和位置可以得到如下坐标图:

如图所示,可以测量小车一段时间内的平均速度。那么怎么测量小车的即时速度呢?如果时间间隔△t很小很小,到底有多小?无穷小,接近了0但又不是0,记为△t->0,那么△S/△t就是t1点的即时速度。记为:v=ds/dt。这其实就是曲线上t1时刻点斜率,微分可以简单总结为用于描述变化量的的变化快慢。

那么,反流数(积分)怎么解释呢?积分求一个不规则形状的面积——笛卡尔的心里面积,看看传说中的笛卡尔爱她有多深。

不规则的图形面积是不能直接计算的,但是可以用规则图形(长方形)去切割,如图所示,当N=1时,误差很大;当N=8时,误差就小很多了;继续切割,N的数值也越大,到底有多大呢?无穷大,记为N->∞,就能没有误差计算出来不规则图形面积了。只是有个问题,当N->∞时,每个长方形的宽度趋向于0,也就意味着每个长方形的面积趋向于0,简单可以总结为:点没有长度,但是有长度的线却看出是点组成的;线没有面积,但是有面积的面却可以看出是线组成的;面没有体积,但是有体积的体却可以看出是面组成的。一个不多,十个就不少了。不过N不能以某个具体数字衡量,它会大,到底有多大?我只能说很大很大,就像没有人能说清爱到底有深一样。

那么问题来了,这样演算合规矩么?实际上,这可能是每一个微积分初学者都会思考的问题,比如微分中,△t->0,△S同样也会趋于0,难道0÷0还有意义么?同样,积分中,无论怎么切割,永远都是一种近似,而不能取而代之的。

对于一些基本的自然现象或者算术问题,如果我们能对此产生质疑,那么请相信古希腊肯定也会有同样的疑问。他们称上面的△t为无穷小量,称N为无穷大量。这两种变量引发了上千年的讨论,其中就包括开普勒、伽利略和笛卡尔等等。

引入一个古希腊很有名也很有趣的悖论——阿喀琉斯悖论的故事。

阿喀琉斯是古希腊神话中人物,著名的特洛伊战争闻名,他以善跑著称。公元前5世纪,古希腊人芝诺提出阿喀琉斯和乌龟赛跑的问题。

乌龟在前1000米,阿喀琉斯在后,速度是乌龟的10倍。显而易见,如果阿喀琉斯不在路旁边睡觉的话,他将在1000/9这个时间点赶上乌龟。然而芝诺则认为阿喀琉斯永远也赶不上乌龟,如果这样计算的话:

第一次计算:当阿喀琉斯跑了1000米后,乌龟向前跑了100米,乌龟在前;

第二次计算:当阿喀琉斯100米后,乌龟向前跑了10米,乌龟还在前;

第三次计算:当阿喀琉斯10米后,乌龟向前跑了1米,乌龟还在前;

第四次计算:当阿喀琉斯1米后,乌龟向前跑了1/10米,乌龟还在前;

......

第N次计算:当阿喀琉斯跑到乌龟上次(N-1次)计算时的距离时,乌龟又向前跑了一点距离。由于N可以无限的计算下去,所以阿喀琉斯是永远也赶不上乌龟。

这个悖论其哲学意义远大于物理意义,演变到数学方法上,即连续的量,可否用离散的切割方式计算?牛顿在总结前人的基础之上,认为并采取了这样的方案,从而发明了微积分(流数术)。极限的概念也呼之欲出,比如无穷小量△t,可以看出极限是0;同样N极限是无穷大。1851年左右,德国著名的数学家魏尔斯特拉斯(1815-1897)终于给出了极限的数学定义,微积分也从怀疑走向了严格表达的一门数学方法。

微积分是伟大的发明,但牛顿在数学方面的成就远不止这些。他还发明了二项式定理、插值法、概率论等等。如果将这些作为单选项,只要其中一项便足以让其青史留名。假设有人要为人类历史上的数学家排座次,如果前三名中没有牛顿,那也是不科学的!不过此时的牛顿还没有声名鹊起,因为他并没有发表过一篇文章。

大约在此后的20年内,德国数学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)也声称发明了微积分,并使用∫符号。有个微积分的基本公式现在称为牛顿——莱布尼茨公式,但是牛顿认为自己是微积分的独家发明人,而莱布尼茨是剽窃了他的成果,换了套衣服而已。大家众说纷纭,莫衷一是。究其原因始于莱布尼茨在发明微积分之前,曾经到英国访问过,并看到已经成名的牛顿的一些手稿,不过手稿中包含微积分与否现在也成了无头公案。总之,牛顿发明微积分是无可争议的,而莱布尼茨是第一个发表微积分的,按照现在的游戏规则,发明权当属莱布尼茨无疑。此外,即便莱布尼茨只是“剽窃”,也不能忽略他对微积分的贡献。

在一场场争吵中,莱布尼茨自然受到不少非议,但名声也不见得受到很大损伤,而损伤更大则是英国科学事业,很多英国科学家介入这场辩论中,并排斥德国乃至欧洲大陆的科学发展,闭门造车了一把。这些都是很多年后的事情,而此时,公元1665年,牛顿还是一个头脑发达、在乡下避乱的闲杂人等,还有很多故事要讲述。

责任编辑: 鲁达

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