鲁达 有理数是整数A和非零整数B的比率，即“有道理的”非数字的比率。
那么，有理数有多少呢？约公元前580年至公元前500年间，毕达哥拉斯学派认为“万物皆为数”，即宇宙的一切现象都能用有理数来表示，可见有理数之多。然而，该学派的弟子希伯索斯的惊人发现，第一次向人们揭示了有理数的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”，而这些“空隙”就是无理数。那么无理数有多少？与有理数比较，谁更多？下面从三个方面进行比较：
一、直观感觉比较
常见的无理数有：①非完全平方数的平方根，如
，
，
，···；②圆周率
；③自然对数的底数e。事实上，我们还可以构造更多的无理数，如
（其中
{0}），
（其中
且
）等等。直觉告诉我们，无理数要比有理数多，而且多很多。
二、通过基数比较
有理数在实数中是处处稠密的，即在数轴上任何小区间中都有有理数存在（并且有无穷多个）。尽管如此，有理数集是可列集，即全体有理数还只不过是一个和那样稀疏分布着的整数全体成为1—1对应的可列集，基数为N0。我们知道，在众多的无限数集中，最小的基数便是N0，而实数集具有连续基数c，可见无理数集合也有连续基数c。而c和N0的关系可由Cantor-Bernstein定理：
来说明。显然，从数量角度，无理数要比有理数多得多。
那么，无理数比有理数多多少呢？下面从测度角度进行说明。
三、通过测度比较
我们以闭区间[0,1]中的有理数和无理数为例。显然该区间的长度为1，即[0,1]中的有理数和无理数构成的区间长度的总和为1。而[0,1]中的有理数的Lebesgue外测度为0，那么该区间的无理数的Lebesgue外测度为1。从长度角度，无理数比有理数多的程度由此可见。
通过三个方面的比较，我们知道无理数比有理数多。而且通过衡量闭区间[0,1]中的有理数和无理数的Lebesgue外测度，使我们更形象地了解到无理数比有理数多的程度。
作者：北京二中亦庄学校 邢丹 本作品为“科普中国-科学原理一点通”原创 转载时务请注明出处