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什么是实数

关于什么是实数和虚数,什么是实数这个很多人还不知道,今天菲菲来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!

1、有理数和无理数统称为实数. 2、实数和数轴上的点是一一对应的 在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 3、在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 4、实数可以进行加、减、乘、除、乘方等运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用. 实数理论 千百年来,数学爱们都在为整个数学寻找一个可靠的逻辑基础而不懈努力,然而分析的算术化,是以实数为基础的。

2、不弄清实数的本质,不给实数以明确的定义、建立实数大小、运算等理论,连续函数的性质就无法彻底弄清,甚至连柯西收敛准则的充分性也无法严格证明。

3、 这就迫使数学家们加快建立数学理论的步伐。

4、 实数理论的核心问题是对无理数的认识,早在19世纪前期,柯西就已感到定义无理数的重要性。

5、他在《分析教程》中,把无理数定义为收敛的有理数列的极限,设{yn}是一列有理数,如果存在一个数y,yn-->y,那么y就是一个无理数。

6、 这个定义存在逻辑上的毛病。

7、因为有理数序列{yn}不收敛于无理数(即y为有理数),则定义不出无理数;不收敛于有理数,那得不承认y是无理数才行,才能定义它是无是数,这就犯了循环定义的错误。

8、 19世纪60年代末以后,出现了几种不同的无理数定义,分别出自维尔期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手,但不论他们定义实数的具体方法有何不同,都符合以下三个条件:第一,把不理数当作已知,从有理数出发定义无理数;第二,所定义的褛的性质及其运算律,与有理数所具有的一三,这样定义的实数是完备的,即在极限运算下不会再出现新数。

9、为了避免柯西理数定义中的错误,维尔斯特拉斯坚持了他的表态观点,曾引入"复合数"概念。

10、并用复合数定义有理数。

11、如3(2/3)由3α和2β组成,其中α=1是主要单位,元素β=1/3。

12、一个数已知它由什么元素组成,以及每个元素出现的次数时,就完全确定了,维尔斯特拉斯继而定义无理数如√2定义为1α,4β1γ----康托与梅雷定义的无理数基本相同,以有理数为出发点引进新数类----实数。

13、该数类包括有理数和无理数。

14、在褛理论建树中,戴德金的实数理论是最完整的。

15、人用有理数分割来定义实数这一思想来源于对直线连续性的考虑。

16、人和康托大致同时提出了实数集与直线上的点一一对应假设。

17、这一假设后来称为“康托-戴德金"公理,他想,直线上的有理点是不连续的,必然由无量数填补空位,才能使直线成为连续。

18、如何才能把这些补空位的无理数表示出来?戴德金用全体有理数的一个分割,来表示一个无理数。

19、 上面所说的几种无理数定义,都把有理数当作已知的,因为任何一个有理数,都可以写成两个整数之比,因此问题归结为整数。

20、那么对于整数需不需要再下定义呢?对这个问题也产生了分歧,维尔斯特拉斯就认为没必要,有理数逻辑地归为一对整数,对整数的逻辑无须做进一步研究。

21、 戴德金则不然,他在《数的性质与意义》一书中,利用集合论思想给出了一个整数理论,虽因过于复杂未被采用,却给皮亚诺以直接启示。

22、 1889年,意大利数学家皮亚诺在他的《算术原理新方法》一书中,用公理方法给出了自然数理论,从而完成了整个数系逻辑化工作。

23、 皮亚诺出生于都灵,曾任都灵大学讲师和教授,是一位数理逻辑学家。

24、他不像逻辑主义者那样,主张把数学建立在逻辑上,而是主张把逻辑作为数学工具。

25、 皮亚诺在《算术原理方法》一书中,使用了一系列符号,如用∈,NO和a+分别表示属于、包含、自然数类和a的下一个自然数等;给出了四个不加定义的原始概念:集合,自然数,后继数和属于;还提出了自然数的五个公理: 1)1是自然数; 2)1不是任何自然数的后继数; 3)每个自然数a都不一个后继数a+; 4)如果a+=b+,则a=b; 5)如果s是一个含有1的自然数集合,且当s含有a时,也含有a+,则s含有全部自然数。

26、这个公理是数学归纳法的逻辑基础。

27、 接着,皮亚诺根据自然数定义整数:设a,b为自然数。

28、则数对(a,)即"a-b"定义整数。

29、当a>b,a/span> 有了整数概念,再通过有序对定义有理数:若n,m为整数,则有序对(n,m)(m<>0)即n/m定义一个有理数。

30、 这样,皮亚诺应用数学符号和公理方法,在自然数公理的基础上,简明扼要地建立起自然数系、整数系和有理数系。

31、当然用公理的、逻辑的方法构造出来的数系,使一数学家感到很不自然。

32、他们认为这是将本一清楚的概念"做了不可理解的推广,然而,实数理论的建立,谱写了19世纪数学史上辉煌的一章。

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责任编辑: 鲁达

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