admin “数学是思维的科学”，数学是训练学生思维不可或缺的学科，是一门使人聪明的学问。当今功利化社会环境下，应试教育占据主导地位，注重考试分数、升学率等眼前利益，忽视理性精神、数学能力、核心素养和全面发展等长期利益，教育观念相对落后，教学方法比较陈旧，导致数学概念教学中出现诸多问题。比如，数学概念教学缺乏自然性，没有铺垫，没有情境，直接搬出概念，强加于人，对提高学生数学学习兴趣不利；缺乏问题意识，对创新精神、实践能力的培养不利；不重视基本概念、核心数学思想方法的教学，缺少必需的归纳、抽象、概括活动，对提高学生数学素养不利；重结果轻过程，缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理活动，损害数学思维过程的完整性，对提高学生数学思维能力不利；解题教学搞“题型+技巧”，学生机械重复、模仿记忆，缺乏独立思考，教学思维发展迟缓，并导致学生数学学业负担过重；等等。这些都与“能力为鸯、素养优先、全面发展”的要求相违背，对“建设人力资源强国”的战略目标不利，对创造性人才培养更不利，因此，我们的数学教育培养出来的是“考试”机器，而不是善于提出问题并能够真正解决问题的人才。要改变这些现状，必须从多方面入手，尤其是从数学课堂教学入手，关键在于数学概念教学。目前数学概念教学主要存在以下误区：
一、抛开教材 哗众取宠
教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师与学生学的载体。但是，在教学过程中，尤其在概念教学过程中，普遍存在流于表面，没有吃透教材，未能领悟主编意图，甚至个别教师出现脱离教材的现象。调研表明，出现脱离课本、抛开教材进行概念教学的原因主要有：
其一，不少教师认为教材内容“简单”，不足以应付中考、高考和竞赛，盲目地、一味地加大难度，苦了学生也伤了教师。比如，在初中学生刚刚进入高一不久，在教授函数基本概念时，许多教师不明白为何高中还要重新给函数下定义，不清楚高中函数定义与初中函数定义的区别在哪儿。不理解为何整个高中数学教材特别将“集合”这一最为基本的概念（语言）安排在必修1的最前面，更不理解为何在集合对应的基础上引出函数概念。再如．在高一入学不久教授函数概念时，没有把精力用在函数概念的构建上，没有充分展示函数基本性质的由来，而是“深挖洞”，在值域上无休止加深。例如，刚刚学习完函数的定义就迫不及待地布置这样的作业----“若函数y =lg(ax 2+2x+1)的值域为R，求实数a的取值范围”，让本来就对函数概念模糊的学生一头雾水、束手无策。这对学生自信心的伤害犹如当头一棒、雪上加霜，让学生苦不堪言，学生对高中数学美好的愿望、饱满的热情、豪迈的壮志荡然无存，导致刚刚进入高中的学生害怕乃至恐惧数学，从而丧失学习数学的信心，长此下去，学生不厌恶数学才怪！
其二，有的教师认为只有教课本以外的东西才能显示自己的水平，晔众取宠，博取眼球，比如在教授“数学归纳法”这一概念时，抛开教科书提供的多米诺骨牌游戏，而反复播放高速路上几十辆高速行驶的轿车连环激烈碰撞而出现的血淋淋的恐怖场面，类似案例比比皆是。
其三，有些教师误解新课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”，要“创造性地使用教材”的真正意图。有些教师没有理解其中真正的含义，而自行随意处理教材，认为教材可有可无，甚至脱离教材，以至于把绝大部分教学时间用于课外辅导材料，这样极大地削弱了教材本来应该具有的功能。“不是教教材，而是用教材教”的真正含义是在吃透教材、把握教材、洞察教材编写意图基础上的创造性使用教材、重组教材。比如，不少教师为了学生考高分，人为地将空间向量与建立空间直角坐标系提前学习，甚至要求学生对所有的立体几何问题一律建立空间直角坐标系，从而错失培养学生空间想象能力、错失优化逻辑论证能力的最佳时机。再如，很多教师将“计数原理”提前到“概率”之前学习，误导学生将注意力从理解概率的本质含义转移到如何计算概率上，本末倒置，误人不浅。
其四，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材。比如，新课标教材采用单位圆定义三角函数，而摒弃早期地终边定义法。不少教师根本不关注这一重要变化，我行我素，背离教材原意。再如，在教授任意角三角函数时，没有研究高中任意角三角函数与初中所学地锐角三角函数之间的关系，武断地认定任意角三角函数就是锐角三角函数的拓展与推广。
二、过度情境 偏离数学
细心阅读《普通高中数学课程标准（实验）》会发现“情境”二字多达28次，并明确指出：“教师要创设适当的问题情景，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。”“应通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题。”同时对教材的编写也提出要求：“教材要注意创设情景，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。”因此在新课程背景下，创设恰当的问题情景，有利于强化学生的观察能力，激发学生的兴趣，诱发学生的学习动机，激发学生的探究欲望，培养学生的问题意识，提升学生的创新能力，启发学生的思维，激活学生的潜能，优化学生的品质，有利于改善教学方式、方法，提高教育教学质量。但是，创设问题情景不仅仅是为了引出一个话题，更应该隐含着一定的数学思想和数学本质，通过教师引导和学生思考，从问题情境中提炼出数学思想，抽象出数学知识，形成数学概念，总结数学方法，揭示数学本质。
数学高度抽象，决定数学概念教学时，教师必须引导学生经历从具体实例（创设情境）抽象出数学概念的过程。尽管数学概念高度抽象，我们总是可以为其构建具体模型，帮助学生归纳和掌握抽象概念的性质及特点。比如，为了提炼正态分布概念而创设高尔顿模板，有助于学生对抽象概念产生直观、形象的感性认识，促进学生对概念的主动建构。因此在新概念形成的教学中，主张用建构主义学习观来帮助学生学习数学概念，教师要根据学习者的经验背景，准确把握学生现有的认知结构状况，符合学生现有的认知结构水平，利用新概念与学生已有的认知结构差异来创设相应的问题情境，采取切实可行的教学策略，帮助学生展示概念的形成与发展过程，揭示数学概念的神秘面纱。一个好的问题情境引入往往使学生心灵产生共鸣和思维产生共振，使学生体会茅塞顿开，豁然开朗，妙不可言的感觉，使课堂充满活力。
数学源于生活，因此对于数学概念教学，尽量创设必要的生活情境，有利于引入概念。生活情境引入，能够让学生感受到数学源自生活，应用于生活，感受到数学是对现实世界中的数量关系和空间形式的抽象化，形式化的刻画，感受到数学是认识世界、改造世界的有力工具。概念教学需要也必须创设一定的情境，但是应该看到创设情境的初衷是为了提出数学问题，进而提炼数学概念。说到底，创设情境的目的在于体现数学概念。创设数学情境可以为数学从学术形态转变为教育形态提供自然的通道，从数学的呈现方式转变为数学的生成方式提供具体的环境，使学生的学习过程有机会成为在教师引导下的“再创造”过程。因此既不能为了情境而创设情境，也不能偏离数学本质，更不能仅仅停留在生活化情境之中，离开数学的情境是无效的，过于强化生活情景化也是毫无价值的。然而，在课堂教学中，存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情景化、生活化、活动化的倾向，这不利于研究概念和实施概念教学。
三、缺少剥离 难以提炼
由于数学是去掉具体事物的物理性质、化学性质后抽象结构或模式，而模式化的一个重要特征就是“去情境化，去时间化，去个性化”，这意味着与现实原型在一定程度的分离。最早从事研究“生活世界”的现象学大师胡塞尔(Husserl)认为“在这个世界中我们看不到几何的理念存在，看不到几何的空间、数学的实践以及它们的一切形状。”这段精彩的语言至少表明数学世界与生活世界还是有许多不同。比如，对于一条宽阔的高速公路，站在初中数学的视角，当我们着眼于距离时就能提炼出线段的概念；当我们着眼于笔直延伸时就能提炼出直线的概念；当我们着眼于自己所站立的位置为端点，瞭望远方时就能提炼出射线的概念；当我们着眼于公路两边时就能提炼出平行线概念；当我们着眼于面积时就能提炼出矩形；当我们着眼于用料（体积）时就能提炼出长方体。
“剥离”就是“去情景化”，就是数学地“提炼”过程，在概念教学中，概念的数学化通常遵循以下四个步骤：感性认识阶段、分化本质属性阶段、概年形成定义阶段、应用强化阶段。
总之，概念教学往往是在学生熟知的生活情境中引进概念，在形成概念的过程中，又经历提炼的“去情景化”历程，达到数学的思维方式。缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是晦涩的。没有过程的结论是空洞而生硬的，没有结论的过程是徒劳无效的，因此数学概念教学一定要将引进“情景化”与提炼“去情景化”相结合。
四，华而不实 追求轰动
数学是理性思维，侧重冷静思考，更多体现在内心活动之中。那种看似氛围活跃的“运动式”“炒作式”课堂教学，是对新课标理念的一种误解与歪曲，无益于课堂教学，更不可能深刻理解数学。尤其在一些优质课的评比中，似乎没有热闹非凡的场面就不是一堂好课，于是各种盲目追求轰动效应的方式，方法达到极致。可谓你方唱罢我登场，东一榔头西一棒槌，整个课堂处于极度兴奋之中。看似讨论热烈，人人参与，实则毫无质量，没有意义的所谓分组讨论，生生合作，严重破坏学生思维的连续性。更有甚者，一会儿组织同桌讨论，一会儿前后合作研究，一会儿小组相互商讨，一会儿全班鼓掌。课堂教学，尤其数学概念教学，重在质量，重在效果，重在思维，而不是一味地追求所谓的轰动氛围。比如讲授二分法概念时，几乎所有教师千篇一律地借用中央电视台中的猜价格游戏，全班学生你猜一个价格、我猜一个价格、他猜一个价格，看似热闹非凡，实则破坏学生本已进入沉思的环境，毫无实质意义。对此，罗增儒教授曾撰文进行了批判。
五、不懂历史 误人于弟
数学是一种文化，也是一部历史，具有历史积淀．追溯历史源头，沿着数学家的足迹，探索数学知识发生发展的轨迹，有利于学生了解知识发生发展的规律。
比如，自从古希腊数学家欧几里得(Euclid)的《几何原本》问世以来，人们一直把代数限定在研究数及其关系的范畴内，把几何限定在研究位置和图形的范畴内。代数和几何截然分家持续了几千年，犹如两座高山被万丈深渊分割。
传说法国数学家笛卡儿生病卧床，却在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成儿何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。笛卡儿苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来？突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿工夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡儿豁然开朗，他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把墙面相交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应。同样道理，用一组数(X,Y)以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
也有传说1619年夏天，法国数学家笛卡儿因病进了医院，正当他躺在病床上苦苦思索着一个数学问题而不得其解时，忽然发现天花板上有一只苍蝇从这个地方飞到另一地方，当时天花板是用木条嵌成正方形的图形。笛卡儿发现，要说出这只苍蝇在天花扳上的位置，只需要说出苍蝇所在正方形是在天花板上的第几行和第几列。当苍蝇落在第四行第五列的那个正方形时，他可以用(4，5)来表示这个位置……由此他联想到可用这类似的办法来描述一个点在平面上的位置，他高兴地跳下床大叫：“我找到了，找到了！”然而不小心将被子上的国际象棋撒了一地，当他将目光落到棋盘上时，他又兴奋地一拍大腿：“对，对，就是这个图。”这个图就是笛卡儿坐标系。利用它可以用一对有序实数对来描述平面内一个点的位置，因此可以通过研究图形上任一点所能满足的代数式来研究几何图形的性质，进而产生了一门新的学科---解析几何。
其实，无论是上述“蜘蛛传说”还是“苍蝇传说”，都不重要，重要的是通过教师向学生讲述这些传说来表达点可以用有序数对来表示，反过来，有序数对也可以表示点，这就是笛卡儿的解析几何核心。了解这段数学史，让学生明白笛卡儿的解析几何核心就是把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。这样用代数的方法来研究几何图形的性质，将分割了几千年的代数和几何紧紧地联系于一体。平面解析几何的核心原理就是在平面上建立起坐标系，坐标系是由两条正交的上面已标定好方向和长度单位的直线所组成的。由于确定了坐标系，因此平面上任何一个点都可以用一对实数来表示它所在的位置，任何一对实数也可用一个平面上的点来表示。这样一来，图形和位置关系研究就可以通过曲线方程转化为对数量关系和计算问题的研究。从此代数问题有了几何直观的解释，几何直观形象有利于发现代数中所蕴含的本质特征。这样就自然地引出曲线与方程的关系以及概念，从而开启解析几何的学习。
笛卡儿创立的解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵的是，笛卡儿用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形（包括点、线、面）和数两个对立的对象统一起来，建立了曲线何方程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且表明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折---由常量数学进入变量数学。
正是由于笛卡儿锲而不舍的毅力，勤思苦索的精神，献身科学的决心，他开创了数学的新纪元，改变了科学的历史进程。可以这么说，17世纪以后，数学之所以能突飞猛进的发展，在很大程度上要归功于坐标几何学的创立。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。”有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。笛卡儿的这些成就，为后来英国物理学家、数学家牛顿( Newton)与德国数学家莱布尼茨(Leibniz)发现微积分奠定坚实基础，为一大批数学家的新发现开辟了道路。
然而，利用笛卡儿坐标系来解释阿基米德( Archimedes)螺线（亦称等速螺线，即一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点旋转而产生的轨迹）问题是艰难的。正是因为笛卡儿坐标系难以解决阿基米德螺线问题，于是才创造性地引入极坐标系，由于阿基米德螺线问题涉及角度和距离等两个问题，因此极坐标的核心就是一对有序数对（ρ，θ)。即极径和极角来刻画点的位置，这就是极坐标系的核心。
通过笛卡儿的“蜘蛛传说”或者“苍蝇传说”以及阿基米德螺线问题，不仅让学生知道直角坐标系的来源，而且还清楚为何必须引入极坐标概念，可谓水到渠成，堪称完美。
六、故弄玄虚 无效探究
数学概念的形成不是一蹴而就的，一般都需要必要的探究历程，因此我们必须旗帜鲜明地反对那种直接抛出概念，然后没完没了地强化训练。但目前我国中学数学教育教学从一个极端走向另一个极端，从最早的“一言堂”“满堂灌”“填鸭式’教学模式，到如今的处处都探究，课课搞探究，时时讲探究，似乎不探究就不算数学课堂教学。
比如，在一节市级公开课中，有位教师在讲授虚数i的引入时，装模作样让学生探究，这不是胡闹吗？要知道一代又一代数学家经历几百年的探索才发现复数，学生怎么可能在短短的课堂几分钟时间探究出虚数呢？令人啼笑皆非的是，居然有学生能够“探究”出来！这种故弄玄虚、毫无意义的“探究”是对“探究式”教学的歪曲，必须停止。
事实上，并非所有的数学概念都要探究，数学中有些概念（比如虚数）就可以开门见山，采用一般讲授式叙述概念。
其实，虚数这种假设，是需要勇气的，人们在当时是无法接受的，认为它是想象的，不存在的，但这丝毫不影响数学家对虚数单位i的假设研究。印度数学家婆什迦罗(Bhaskara)是第一个遇到“虚数”的人，他认为“x2+1=0”这个式子没有意义，并指出：“负数没有平方根，因为它不是一个数。”第一次认真讨论这种数的是意大利著名数学家卡尔丹(Cardano)，他是1545年开始讨论这种数的。卡尔丹在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”，他是第一个把负数的平方根写到公式中的
数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他得到了两个奇怪的根：5+√-15，5-√-15。尽管他也认为这两个表示式是没有意义的，但他还是把10分成了两部分，并使他们的乘积等于40。几乎过了100年，“解析几何之父”---法国数学家笛卡儿才给这种“虚幻之数”取了一个名字---虚数。笛卡儿在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。又过了l40年，瑞士天才数数家欧拉(Euler)还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i(imaginary，即虚幻)来表示它的单位，后来誉为“数学王子”的高斯(Gauss)给出了复数的定义，但人们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用。高斯做出了实质性贡献。1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a+bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数。在代数基本定理的几个证明中使用了复数，在数论中也用了复数，他阐述了复数的几何加法和乘中。其中，复数为人们所接受关键在于复数及复数的代数运算获得了集合解释，挪威的韦塞尔(Wessel)和瑞士的阿尔冈(Argand)分别给出了复数和复数的代数运算的几何解释，直到今天，复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一。
早在原始人时代，人们在生产、生活中注意到一只羊与一堆羊、一只狼与整群狼在数量上不一样，但为何不一样还是无法说清，更不理解。因为当时人们仅仅知道“有”“无”“多”“少”等肤浅的概念，还不知道“数”为何物。后来因为生产、生活的实际需要，人们开始采用石头计数、刻痕计数、结绳计数。所谓“结绳计数”，就是发生一次重要事件时，就在绳子上打一个结作为标记，如张三昨天捕获一个兔子，就在绳子上打一个结，今天捕获两只羊，就在绳子上打两个结……后来一看张三绳子上打的结“多”，大家就推选他为头目，李四打的结感觉也不“少”，就封他为小头目，王五一个结都“没有”，就只能当个跑腿的。这种方法虽然简单，但至少表明人们开始有了数的启蒙概念，在经历数万年的发展后，直到距今大约五千年前，才出现了书写计数以及相应的计数系统。随着生产力的不断发展和文明的进步，数字不断完善，数学就逐步发展起来。
显然，最开始的数就是我们今天的正整数，但为了使得减法运算在数系中通行无阻以及表示相反意义的量， 人们引入了负数的概念。但负数产生的直接原因是解方程的需要。令人自豪的是，中国人最早提出负数并深刻认识负数，它大大地促进了数学学科的进一步发展。负数的概念最早出现在我国古代著名地数学巨著《九章算术》一书中的“方程”章。三国时期的数学家刘徽对负数给出了很自然的解释“今两算得失相反，要令正负以名之”。也就是说，在计算过程中遇到了有相反意义的两，要用正数和负数来区分它们，并且在筹算中用红
筹代表正数，黑筹代表负数，于是产生了整数。可是，当7个人一起狩猎到3只兔子，而怎么分享胜利成果时，现在人们觉得最简单的事情，可在当时确实是天大的难题，因为运用正整数无法完成，为了解决这些实际问题，自然就产生了分数。整数、分数统称为有理数，有理数的产生是数学史上数的第一次扩充。
后来人们发现边长为1的正方形的对角线明明有长度，这是尽人皆知的事实，可是却无法表示出来，因而引发了第一次数学危机，这也正是产生无理数的直接动机。无理数的引入，是数学史上数的第二次扩充，它不仅使无理数登上数学的舞台，而且顺利地消除了第一次数学危机。17世纪中叶，牛顿与莱布尼茨发明了微积分，但当时的实数理论不够完善，因而无法让微积分得到严格化，由此引发第二次数学危机，直到19世纪中叶，德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)与康托尔(Cantor)等数学家建立了完善、严密的实数理论，至此化解了第一次和第二次数学危机。正因为这样，才将微积分基本定理称为“牛顿一莱布尼茨”公式。
在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到相当高深和丰富的程度，因此当时许多数学家认为数学成就已经达到登峰造极的地步，预计数的形式再也不会有什么新的发现。但是在解决方程时常常遇到负数开平方的问题，正是为了解决与此相关的问题而引入虚数。虚数的引入，使得负数开平方名正言顺，虚数的引入是数学发展史上最为重要的时刻，这就是数学史上数的第三次扩充，从而掀开数学发展新篇章。
七、缺乏反思 浅尝辄止
数学概念是高度抽象概括的，数学教材是知识的精华与浓缩，往往言简意赅，或者限于篇幅，有些过程未加以说明，常常会对学生学习产生障碍，教师要反思教材，以便及时充当教材与学生之间的协调员，对教材所呈现的思维链进行加密和拓展，合理设置阶梯，给学生的思维搭桥，让学生知其然，更知其所以然，使教材变得丰满和易于接受。
新课改要求学生全程参与概念产生、生成过程，体验概念引入、发展、归纳及提炼历程，让学生在辨析概念基础上巩固概念，在构建概念动态过程中理解、掌握、悟透概念的内涵与外延、特征与本质，打造魅力数学课堂，优化学生思维品质，激发创新意识及创造能力。
比如，在教授定积分概念时就处处考验教师的专业功底与反思识。定积分引入新课标教材，为我们解决初等数学问题提供了新视角、新思维、新方法，应该说定积分既是重要的知识，更是一种功能强大的工具。借助定积分的观点审视问题，揭示定积分的本质，解决一些利用初等方法难以解决的问题，显得特别有效。然而，时下极端功利化的社会环境及高考的重压下片面追求升学率，导致定积分概念教学中普遍存在“一个定义、二项注意、三个例题、n个强化训练题”的怪现象，教师没有向学生充分展示，更没有让学生全程参与定积分概念的产生、发展、形成过程，甚至不少教师直接把微积分基本定理告诉学生，然后就让学生没完没了地套用定理进行重复、机械、低效乃至无效甚至负效的所谓强化训练，这与新课标明确要求的“三维目标”背道而驰，严重制约学生的能力发展，最终的恶果就是学生除了死板套用公式求几个简单的定积分外几乎一无所知，优化学生思维品质、培养学生创新意识、激发学生创造能力更是成为一纸空文。
新课改要求数学概念教学中舍得花时间、投精力。正是基于这一理念，新课标人教A版选修2-2用了大量的篇幅，甚至不厌其烦、想方设法地铺垫，先从求曲边梯形的面积到求汽车行驶的路程再到具体案例都是采用分割、近似代替、求和、取极限等四个步骤，新课标教材的主编经过如此反复的铺垫后仍不放心，紧接着在教材随后的信息技木应用栏目中再一次强调上述四个步骤，而且教材特意安排丰富的课后练习及习题来巩固定积分的概念以及具体操作的步骤，旨在引导学生体会并逐步理解这一思想的精妙所在。这足以看出定积分在新课标教材中被提高到从未有过的高度，足以显示教材主编的用心良苦。
建构主义认为，学习是学生经验体系在一定环境中自内而外的“生长”，它是以学生原有的知识经验为基础实现知识的建构，正是在这样的理论指导下，新课标教材首先让学生通过已有的认知水平（即用正多边形逼近圆）来启发、类比进而构建（构造）矩形逼近曲边梯形，其本质就是“以直逼曲”“以不变应变”，其目的在于让学生直观感受分割、近似代替、求和、取极限的具体实施过程与方法，让学生深刻领悟“数与形”“近似与精确”“有限与无限”“转化与归”等数学思想，让学生从唯物辩证的高度认识量变到质变、运动与静止、偶然与必然、具体与抽象、特殊与一般等哲学原理。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔( Freudenthal)指出：“反思是数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平。”反思本质上是对教学的一种反省认知活动。“教而不思则罔，思而不教则殆。”反思就是为了总结教学经验，探索教学规律，构建魅力课堂，优化学生思维品质，提高教学质量，同时它也是提升教师自己教学水平和能力的重要渠道。教师应该从学生普遍感到茫然不解的问题（案例）出发，深刻剖析学生的困惑，反思定积分概念教学，进而优化学生思维品质，构建数学魅力课堂教学。
当然，目前概念教学中存在的误区远不止这些，再如，不顾事实，自作主张；跨越过大，生硬搬出；隔断联系，制造裂痕；舍近求远崇洋媚外；缺乏素养，僵尸教学；僵化思维，缺少人文。