luda 1798年初夏，拿破仑率领军队远征埃及。金字塔下，快打仗的时候，他对士兵们大喊非常得意的话。
“大家，祝福你们4000年！”
在战斗的间隙，下属的将军们登上了著名的金字塔，拿破仑没有上去，但在下面忙着计算什么。据说拿破仑这个人喜欢计算，打仗的时候也用数学。力学上，物体的质量和速度相乘称为动量，他仿照这个例子，将部队的人数和移动速度相乘的结果计算为部队的动量。骑兵部队人数少，但移动速度快，所以运动量也大。
当那些将军们从金字塔下来的时候，拿破仑把刚才计算的结果告诉了他们。
他说，三个金字塔(见图1-8)的整个石头加起来，就可以做成6米高、30厘米厚的石墙。拿破仑的计算是否正确暂且不说，光听这句话就能估计出金字塔是什么庞然大物。
无法想象图1-8为了建造金字塔花了多少人力和血汗。
但是金字塔的惊人之处不仅仅是巨大的。抬头看这座150米高的巨石山，最初感受到的奇观平息后，接着第二个奇观抓住了人们的心。这就是金字塔拥有的精致。(阿尔伯特爱因斯坦，Northern Exposure，)这座巨大的石头山不仅大，而且像工艺品一样精巧。
例如，金字塔的底部是正方形，边长的误差在1/1000以下。距今4000年前怎么会有这么精致的建筑物？想到这里，就知道问题在于古埃及的测量技术及其基础——数学。我们当然会认为，建造这么精密的建筑物要有高水平的数学知识来保证。当然，单从螺壳的曲线来看，在微分学中是一条精确的曲线。说贝类懂微分学是错误的结论。但是，可以假设人类正在从事有计划的工作，背后有适应这项工作的科学存在。
19世纪始于洗发水里昂等地的埃及研究明确了这样的假设是真的。例如，根据英国学者林德发现的《莱因德纸草书》的记录，当时埃及的数字用图1-9表示。
图1-9如图1-10所示，10，100，1000。
如图1-10所示的数字高达1000万人，这表明埃及这个古国一定需要这个庞大的数字。根据流传下来的记录，在一次战争中，埃及分了12万头俘虏、40万头牛和142.2万头山羊。这个数字有点夸张，但对人口多、高度统治下的古代国家来说，这种程度的数字决不是难以实现的。(大卫亚设)。
埃及人用象形文字写数字，如图1-11所示。
图1-11这是从左到右以大小写为准写的，写顺序可以颠倒。另外，如果改变位置和位置，13545不会改变(见图1-12)。也就是说，与每个数字的书写顺序(位置)无关。因此，埃及的数字与定位的原理不同。今天我们使用的定位法来自与埃及数字不同的巴比伦王国系统。
1.9二进制数
以一个人的手指和脚趾数为基准，可以制作20进制数。这个20进制数与十进制数并行，在今天的欧洲语言，特别是法语中留下了痕迹，法语中还有这样的话。
803354 quatre vingts (20 4个)
903354 quatrevingt dix (20 10 4个)
以前是以下十进制数字
80——octante
903354笔记
故意使用20(vingt)的20进制数，可见法国人相当喜欢20进制数。雨果的著作中有《93年》这本小说很有名。就是Quatre vingt treize(204 13=93)，这是日本人需要计算的问题。事实上，由于这个20进制不是给孩子们的算术，所以最近小学停止使用vingt，用octante代替quatre vingts，用nonante代替quatre vingt dix，并推荐这些合理的数字。
但是据说现在农村仍然像以前一样使用octante和nonante。
不仅法语，英语中还保留着分数(20)等数字
“人生70”说成Three score and ten(20×3+10=70)。林肯在葛底斯堡以那句名言“人民的，依靠人民的，为了人民的政府”结尾的演说中，是以Four score and seven years ago这句话开始的，由于20×4+7=87，所以意思就是“87年前”。可是，法语也好，英语也好，20只是10的辅助，认真完成二十进制的民族也有，例如阿伊努人就是。阿伊努语的20是hot“一齐”，意思就是两手(指)和两脚(趾)全加在一块儿。
10——wanpe
20——hot
30——wanpe-e-tu-hot(20×2－10)
40——tu-hot(20×2)
50——wanpe-e-re-hot(20×3－10)
…
别的地方不大有这样用减法的。
除了阿伊努人以外，可别忘了还有一个民族创造了完全的二十进制，那就是中美洲的玛雅族和墨西哥的阿兹特克族。玛雅族的数字如图1-13所示。
图1-13到了20，就在•的下面画上，用来表示。
这时的形状就好像是眼睛，可是下一档不是20而是18，不是400而是360。
这似乎和一年的天数有关系，作为360天来说，剩下的5天就是祭日了。
玛雅族使用的是先进的定位方法，可是后来出现的阿兹特克族却从定位法后退了，他们使用的是如图1-14所示的数字。
图1-14 20是一面旗子，但20这个单位好像还太大，于是把20分成四等份，把10或15当作辅助单位使用，如图1-15所示。
图1-15阿兹特克族的二十进制是很彻底的。他们和玛雅族一样，一个月是20天，一年是18个月，20个部落聚在一起形成一个大部落。
1.10 十 二 进 制
人有5个手指，基于这样一个生物学的偶然事实，5，10或20就成为计算方法的基础。旧约圣经里说有一个手脚都有6个指头、总共有24个指头的巨人和大卫王打仗的事，如果是这个6指巨人创造数词，一定是十二进制。
12 进 制实际上也有人不用十进制而改用十二进制。第一个有名的例子，据说就是瑞典国王查理十二世(1682—1718)。他率领军队窜扰北欧。这个外号叫“北方的狂人”的好战国王很年轻就死去了，没有能实行十二进制。这样一个豪强的国王，为什么执意要搞十二进制呢?其理由还不太清楚，不仅因为“十二世”的十二，还一定有更合理的理由。首先想到的是12的约数很多这一事实。10的约数有4个：1，2，5，10。与此相比较，12的约数是1，2，3，4，6，12，有6个。尤其是10不能用3除尽，而12却能用3除尽，这就是它的长处。
在学者当中提倡十二进制的人是博物学家布封(1707—1788）。十二进制除了0~9的数字外，还必须有表示10和11的数字，布封用X表示10，用Z表示11。加上这两个数字就可以用与十进制相同的方法写出所有的数字。布封的生年1707可以写成ZX3，卒年1788就可以写成1050。
可是即使有查理十二世的权力和布封的博学，也不能把十二进制强加在国民头上。这是因为必须改变数词，而这一点很难办到。
话虽这么说，现在欧洲的语言和习惯上仍然保留有十二进制的痕迹。英国小学的算术教科书里印有12×12=144的十二进制的“九九”表，可是这对英国的孩子有必要吗?比如12个是1打，12打是1罗。在度量衡上也是以12进位的居多。12英寸是1英尺，12便士是1先令。英语的数词也是从one、two开始说到ten，11不是ten-one，12不是ten-two，而是eleven和twelve。追溯到最古老的词源，eleven是从哥特语的ainlif(余1)来的，twelve是从twalib(余2)来的，也仍然是以十进制为基础，但现在已经是无法区别，决不能说成ten-one，ten-two。
在这一点上日语就合理得多。掌握了合理的数词会多么有利呢?这就不得而知了。总之“九九”表很好地利用了日语数词的规律性，用欧洲语言可就非常困难了。
1.11 六 十 进 制
要是20太大的话，60就更大了。而以这更大的60为基础，把六十进制付诸实际使用的却是巴比伦王国。
巴比伦王国的六十进制现在在时间和角度的测量上仍然保留着。60秒是1分，60分是1小时，在角度上就是1度。这对于使用十进制的我们来说不太方便，可是要改变它与其说是困难的还不如说是不可能的。如果改变，那现在使用的钟表就全都没用了，刻着角度的机械也全都要返工改造。这个改革比起实行米制要困难得多。似乎不值得付出牺牲去实行。无论如何，钟表和分度器上的六十进制会永存下去。
可是六十进制为什么会在巴比伦王国产生呢？道理还不清楚，有各种各样的说法，下面一种说法似乎最说得通。巴比伦王国是由许多小的部落逐渐扩大形成的一个国家。那时有必要把各地方纷杂的度量衡统一起来。所以有很多约数的60就很方便。如十进制的国家和十二进制的国家一起组成新的国家时，如果用10或12都能除尽的数，也就是以10和12的最小公倍数60为基础的话，对两国都合适。
1.12 定位与 0 的祖先
巴比伦王国和埃及是历史上最早的城市国家，在那里文明的发达程度差不多相同，数学水平也很相近。它们掌握了100万或1000万以内的数词，知道加减乘除的计算方法，还提出了分数的想法。但是也有些不同点。
埃及在实现完整的十进制方面是先进的。巴比伦王国创立的是混杂着十进制的六十进制，因此我们得到一份不值得感谢的遗产，这就是时间与角度的六十进制。即使这么说，巴比伦王国的数学也不是在所有方面都比埃及差。巴比伦记数法的长处究竟在哪里呢？
像前面说过的那样，埃及人对于1，10，100，1000，…每一个新的单位想出一个新的文字。
可是巴比伦人分别用，,来表示1，10，100，1000意味着10×100，所以写成。我们可以认为在与之间省略了×（乘）的符号。同样，表示10×10×100=10 000，表示10×10×10×100=100 000。这虽然只是数字，但其中隐含着重要的想法。这个想法就是把尽量少的数字组合在一起来表示尽可能大的数。节约数字的想法逐渐发展，发明了0，诞生出计算用的数字，成了今天人类的共同财富。就是这些计算用的数字，按照定位的原理，仅用10个数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列，就能够表示所有的数。
埃及人为什么不节约数字呢?原因不太清楚，也许这个原因会出乎意料地出现在我们身边。埃及人能够在纸莎草纤维制成的草纸上画精巧的图画。当有必要写出相当于1000万的数字时，能够轻而易举地画出这样的图形文字。而巴比伦人却办不到，他们的纸就是黏土，笔就是在黏土上刻记号的粗陋的刮棒（见图1-16）图1-16，用刮棒充其量也就是刻出一些楔形沟。所以要像埃及人那样把1000写成等等真是太难了。巴比伦人必须想办法找窍门，用简单的楔形沟的组合写出1000，这样不就产生了吗?总而言之，也许是因为他们用粗陋的刮棒和黏土，使他们不得不节约数字吧。
可是反过来说，这件事对于数学的发展却是幸运的。实际上，从0的发明到创造计算用的数字，这一发展的线索不是联系在埃及系统，而是联系在巴比伦系统的数学上。
如果是使用方便的草纸使埃及的数学停止发展，而不方便的黏土却给巴比伦数学的发展以很好的刺激，这可以说是历史的讽刺吧。
上文节选自《数学与生活》, 已获人邮图灵许可, [遇见数学] 特此表示感谢!