鲁达 想象一张正方形的纸平放在桌子上。我要你闭上眼睛。你听到了纸的转换。当你睁开眼睛时，这张纸看起来并没有变。很明显，我没有把纸旋转30度，因为这样纸看起来就不一样了。
我也没有把它绕一条线翻转，比如说，一个角到另一条边的中点的线。如果我这么做了，纸张看起来就不一样了。
然而，我所能做的是顺时针或逆时针旋转纸张90度，或在对角线或水平线和垂直线上翻转它。
- 绕何虚线翻转都不会改变正方形。
可视化转换的一个有用方法是标记正方形的角（为了方便表示，下面用字符表示，如R_90表示旋转90度，Flip AB表示绕AB翻转）。
最后一种选择是什么都不做。这叫做恒等变换。合起来，这些都被称为正方形的对称变换。
我可以结合对称变换来做其他的对称变换。例如，绕线段BD上进行两次翻转就会产生恒等变换，连续进行四次90度逆时针旋转也会产生恒等变换。围绕垂直线翻转，再围绕水平线翻转，有旋转180度的效果。一般来说，任何对称变换的组合都会产生对称变换。下表给出了组合对称变换的规则：
- 我们用e来表示恒等变换
在这个表中，R下标90，180和270年表示逆时针旋转到90度，180度和270度，H表示绕水平线翻转，V表示绕垂直线翻转，MD表示绕从左上角到右下角的对角线翻转，OD则表示绕另一对角线翻转。要找出A与B的乘积，首先到A行，再到B列，并找出它们的乘积。例如：H∘MD=R₉₀（查表得到）。
通过查看表格，你可能会注意到以下几点：
- 作用符∘ 具有结合律，也就是说，对于任何A，B和C，有A∘(B∘C) = (A∘B)∘C。
- 对于任意对称变换A和B， A∘B亦是对称变换。
- 有一个元素e，使得对任意A，都有A∘e=e∘A 。
- 每一个对称变换A，总有一个对应的对称变换A⁻¹，使得 A∘A⁻¹=A⁻¹∘A=e。
因此，我们说，一个正方形的对称变换的集合，以及它们的组合，形成一个数学结构，称为群。像正方形这样的二面体，群为D₄。这些结构是本文的主题。
群的定义
一个群A⟨G，*⟩是带有作用规则*的集合G，*将G中满足群公理的任意两个元素组合，满足以下四个公理：
- 结合律：(a*b)*c = a*(b*c)，对所有a，b，c∈G
- 闭包：a*b∈G，对所有a，b∈G
- 恒等变换：所有a∈G都存在一个元素e∈G，使a*e=e*a=a
- 对于a∈G，每一个a¹，都有一个a⁻¹∈G，使得a*a⁻¹=a⁻¹*a=e。
我们通常把*省略掉，把a*b写成ab，把*称为乘法规则。
- 日常生活中的一“群”的例子就是魔方的一系列“变换”。
*不一定是可交换的（不一定满足交换律），即a*b不一定等于b*a。你可以从D₄表格中看到，H∘MD=R₉₀，但MD∘H=R₂₇₀。*满足交换率的群被称为阿贝尔群。
交换群是群例外而不是属性。一个非交换群的例子是一个立方体的对称变换。只考虑绕轴的旋转：
如果先绕y轴逆时针旋转90度，然后再绕z轴逆时针旋转90度，那么结果会和先绕z轴逆时针旋转90度，然后再绕y轴旋转90度不同。
- 第一行行：绕y旋转90度，再绕z旋转90度。第二行：绕z旋转90度，再绕y旋转90度。
元素有可能是它自己的逆元素。考虑用二进制加法运算由0和1组成的群。它的表为：
显然1是它自己的倒数。这也是一个交换群（阿贝尔群）。
群的更多例子包括:
- 加法和整数的集合。
- 乘法和有理数的集合（不包括0）。
- 多项式方程xⁿ-1=0的解（称为n次单位根）和乘法的集合。
- x⁵-1=0的5次单位根。
以下是一些非群的例子：
- 加法下的自然数集合不是一群，因为没有逆，也就是负数。
- 包括0在内的所有有理数与乘法的集合不是一个组，因为没有有理数q使0/q=1，所以不是每个元素都有一个逆。
群结构
一个群不仅仅是一个满足四个公理的集合。一个群可能有内部结构，这种结构可能非常复杂。抽象代数的一个基本问题是确定一个群的内部结构是什么样的，因为在现实世界中，实际研究的群要比我们在这里给出的简单例子大得多，也复杂得多。
内部结构的一种基本类型是子群。当H是G的子集时，G有一个子群H且：
- 对于a，b∈H，a*b∈H，b *a∈H
- 对于a∈H，a⁻¹∈H
- 恒等变换是H的一个元素
如果H≠G，则H是一个真子群。只由恒等变换组成的G的子群称为平凡子群。
一群的n个元素，其中每个元素都是通过一个元素的整数次幂得到的，{e, a, a², …, aⁿ⁻¹}，其中e= A⁰= Aⁿ，被称为A生成的n阶循环群。考虑一下6阶的循环子群 {e，a，a²，a³，a⁴，a⁵}，它的真子群是{e，a³}和{e，a²，a⁴}。
一个非交换群可以有交换子群。考虑我们在前面讨论过的方二面体群。这个群不是交换的，但是旋转的子群是交换的且是循环的：
现在我们举两个群结构的例子。
即使一个群G不是交换的，它仍然可能存在一个G的元素集合与G中的所有元素交换。这个集合称为G的中心。中心C是G的一个子群，证明：
- 恒等变换：eg=ge对于所有g∈G，所以e∈G。
- 闭包：a、b∈C。根据定义，对于所有g∈G, ag=ga, bg=gb。所以（ab）g=agb=g（ab），因此ab与所有g∈G可交换，所以ab∈C。
- 可逆性：如果a∈C，那么对于所有g∈G，ga=ag；所以a⁻¹（ga）a⁻¹=a⁻¹（ag）a⁻¹，由结合律有 a⁻¹g（aa⁻¹）=（a⁻¹a）ga⁻¹，因为有aa⁻¹=a⁻¹a=e，所以 a⁻¹g=ga⁻¹，所以 a⁻¹∈C。
现在假设f是一个定义域和值域都是G的函数。f的周期是元素a∈G，使得f（x）=f（ax）对于所有x∈G。f的周期集P是g的子群。证明：
- 恒等变换： x=ex，所以f(x)=f(ex)对于所有x∈G，因此e∈P
- 闭包：设a、b∈P。由于G的所有元素bx∈G，且f（x）=f（ax），则f（bx）=f(abx)。但是f（bx）=f（x），所以f（x）=f（abx），所以ab∈P。
- 可逆性：让 a∈P。那么 f（x）=f（ex）=f（a（a⁻¹x））=f（a⁻¹x），所以 a⁻¹∈P 。
有限群是有限生成的
我们知道，循环基群是由单一元素产生的。当有可能将G中的每个元素写成G的子集A的乘积时（不一定是正确的），那么我们说A生成G，并将其写成G=⟨A⟩。证明：
- 设G是有限的。G的每个元素都是G的其他两个元素的乘积，因此G=⟨G⟩。
每个有限群都是由它自己生成的，但它也可以由一个真子集生成。约束条件为a²=e，b³=e，ba=ab²的群G={e, a, b, b², ab, ab²} ，由a和b生成，因此G=⟨{a,b}⟩。
结束语
抽象代数是一门具有深远意义的深奥学科，但它也是一门非常容易学习的学科。除了几次提到线性代数外，我在这里讨论的几乎所有内容对于只有高中代数知识的人来说都是容易理解的。