2022北京高考数学专题之2020年北京高考数学试卷权威解析来了

2020年北京高考数学考试昨天结束，北京教育考试院和北京教科院基础研究中心的专家们对今年的数学试卷进行了细致的命题分析，一起看了

数学试卷整体分析

2020年高考数学北京卷履行了李德洙人的根本任务，加强了核心能力和素养调查，通过“入口容易、口宽、深、出口困难晚”创造了文理合卷，形成了“一个中心、三个基本点、五条路径”的评价体系。

● 以立德树人为命题的中心

北京卷命题以立德树人为根本，突出试题的育人价值。如第15题关注现实生活中的环境污染问题，引导学生关注民生，树立有责任的公民意识。

北京卷继续坚持对“四具备”人才的考查。如第9题，考查的是三角函数的知识，需要细致的观察、严谨的推理和高度概括整合，找出角与三角函数值之间的关系；第20题的第（2）问，需要学生在计算过程中，一丝不苟，严谨求实的精神。

总之，北京卷通过设置不同的问题情境，体现高考的育人功能。

● 以知识思想、能力素养、应用文化为命题的三个基本点

数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础；而数学实力往往影响着国家实力。北京卷以知识思想、能力素养和应用文化为命题的三个基本点，力图把学生的数学真实实力考出来。

01 突出对主干知识和重要思想的考查

北京卷突出考查主干知识内容，强调通性通法。如对集合、复数、向量、函数、三角函数、立体几何、解三角形、统计与概率、函数与导数、圆锥曲线等主要板块的主干内容进行重点考查，充分体现了对数学知识考查的基础性、全面性和综合性。

数学基本思想方法是数学知识在更高层次的抽象与概括。北京卷第5、6、10、15题考查数形结合的思想；第8、19题考查函数与方程的思想；第10、13、16、21题考查化归与转化思想；第18题考查或然与必然的思想；第19、21题考查分类与整合的思想。

02 突出对数学关键能力和

数学学科素养的考查

北京卷突出对数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大素养的综合考查。

如第15题污水治理问题，主要考查学生的抽象概括、直观想象能力。第18题是考查学生数据分析和数学建模的素养。北京卷设计现实性和综合性问题，在现实情境中考查学生核心素养的发展水平。

03 突出对数学应用和文化的考查

北京卷突出对数学应用和文化的考查。数学应用考查方面，北京卷关注社会，关注学生发展，引导学生运用所学数学知识解决生活实际问题。如第15题，选取具有时代特色的环境治理为情境创设数学问题，考查学生身边的数学；第18题考查概率统计知识在数学和生活中的应用，使学生体会到数学知识与现实生活息息相关。

北京卷进一步加强数学文化的考查，增强文化性。如第10题关注无理数的两种计算方法：中国传统的“割圆术”和数学家阿尔·卡西的求解方法。既弘扬了中国传统文化，又引导学生学习世界辉煌灿烂的数学文化。

● 助力文理合卷新高考落地的五条路径

根据考试内容要求、考生群体变化、考生水平变化，北京卷在试题的文理合卷方面，遵循“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的基本原则。通过优化试卷结构、精选试题素材、科学设计试题内容、创新试题设问方式、凸显试题发展功能等方面推进新高考的改革，打造高考数学命题新形态。

01 优化试卷结构，

推进文理合卷顺利实施

在保持测试时长和总分不变的前提下，北京卷优化试卷的结构，调整了选择题、填空题和解答题的数量和分值。选择题由原来的8道变为10道，填空题由原来的6道变为5道。增加了主观题的比例，主客观题目比值为1.3:1。通过加强对主观题的考查，为学生展现数学思维能力搭建了平台。

根据试题难度和要求，北京卷在试题的排列顺序上也有所变化。如首次将立体几何解答题放在解答题的第一题进行考查。这种尝试增强了试题灵活性，为引导教学、防止题型固化、命题方式固化起到积极的作用。

在试卷难度控制上，为了增强文科倾向考生在数学学习上的获得感，试题“入口易、口径宽”，中低难度试题的分值占有一定的比例；为了继续保持理科倾向考生在数学学习上的成就感，试题“深入缓、出口难”，没有降低综合创新题的难度，依然具有较强的挑战性，并保持了较好的区分度。

02 精选试题素材，

贴近学生的真实生活

北京卷试题素材的选取真实、自然、合理。如第15题通过以污水治理为背景设置题目，体现了十九大报告提出的“提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求；第18题通过活动方案支持度调查，体现了民主决策过程。材料源于社会、源于真实情境，考查学生分析和解决具有实际意义问题的能力。

03 科学设计试题内容，

回归数学本质和学生的基础

北京卷命题体现数学本质，遵循学生身心发展的规律。一是试题内容紧扣课标和教材，体现数学的本质，引导教学回归数学本质，回归学生的基础。如第10题根据教材中提到的“割圆术”的部分思想改编而成，第16、17题都是立体几何和三角部分的基础性问题。

二是试题具有丰富的问题梯度，符合学生的认知规律。如第12、13题，都是设置两空，第一空为第二空适当做铺垫。如第18题，学生在解决了第（1）问后，就会为第（2）问的解答提供基础和台阶。试卷通过“多问把关”“多题把关”等方式，为不同水平的考生搭建了施展才华的舞台。

04 创新试题呈现方式，

力求考出具有不同专业倾向

学生的真实水平

北京卷在试题上进行适度创新，增强试题的选择性和开放性。

一是设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题。如第14题，要求学生给出满足条件的一个常数值，试题答案不唯一。学生需要根据已有的信息进行猜想、探究和推理，从而得出结论。

二是设计分层赋分试题。第15题污水治理问题，从不同角度设置了4个选项，其中3个是正确的。

三是设计了结构不良问题，需要学生自己选择适当的条件进行解决。如第17题的设问具有开放性，学生需要选择条件①或条件②，用余弦定理或正弦定理去求解三角形。两个问题需要的知识和方法有所不同，考查具有不同专业倾向的学生真实水平。

05 凸显试题的价值功能，

为学生的终身发展打基础

北京卷的命题，不仅体现人才的选拔功能，而且还引导学生去探索，应用数学知识去解决职场与生活中的实际问题。如第18题，以学生熟悉的学校生活为背景来设计，重点考查抽样，样本估计总体，总体的概率推断。第（1）问考查 “样本估计总体”的思想，现实生活中需要对总体做一些判断，比如两个男学生是否同时支持该方案的概率，或者更复杂的群体（如第（2）问中的群体）的支持度。除性别外，第（3）问考查不同年级的支持情况。作为校方，为了提高学生的支持度，需要加强对高年级的学生宣传和方案完善。问题引导学生积极参与到学校的各项活动和决策中，这为学生未来的职业发展奠定了基础。

高考具有发展性功能，北京卷在促进学生数学的可持续思考中起到重要的作用。第21题需要学生运用逆向思维、归纳、分类讨论、反证法、最小数原理等数学思考方法，并能用数学的语言逻辑，严谨地写出证明过程。考查学生的一般化和概括迁移能力，有助于引导学生从做题到做事，为未来进一步学习奠定良好的基础。

2020年是文理合卷的第一年，疫情给高考命题带来了新的问题和挑战。北京卷以立德树人为中心，着力于知识方法，能力素养，文化应用的考查，依据“入口易、口径宽，深入缓、出口难”“多问把关”“多题把关”等基本原则进行文理合卷的设计，形成了“一个中心，三个基本点，五条路径”的评价体系。

引导教学在六个方面“下功夫”， 即“在主干知识的掌握上下功夫”“在数学学科本质的理解上下功夫”“在数学思想方法的领悟上下功夫”“在数学应用探究上下功夫”“在创新思维形成上下功夫”“在数学素养的养成上下功夫”。

导向中学对“四具备”人才的培养，即“具备自觉的数量观念的人”“具备严密推理逻辑的人”“具备高度抽象概括的人”“具备一丝不苟、精益求精作风的人”。

2020年数学学科高考命题落实新高考文理合卷要求、保持命题总体稳定的前提下，变中求稳，稳中求进，不忘教育初心，牢记高考改革的使命，引导中学遵循教育规律，助力学生德智体美劳的全面发展。

数学试卷的特点

2020年高考北京数学试卷整体上符合国家课程标准要求，结合北京市高中数学教学现状，知识要素覆盖全面，数学素养考查突出。与去年相比，在试卷结构、分数设置等方面有所调整，在题型分布、难度预设和梯度设计方面基本保持稳定。试题设计围绕高中数学的核心内容，重点知识重点考查，通性通法着力考查；围绕学生的学习和生活实际，考查数学知识的综合与应用，体现数学的文化及教育价值。

● 保持稳定和连续性，稳中有进，适度创新

相比于去年，数学试卷总体稳定，有利于考生稳定心态，正常发挥；适度创新，有利于考查考生的实践能力和锲而不舍的精神。

相比于去年，数学试卷由两套试卷（文理各一套）调整为一套试卷，试题题型依然是选择题、填空题和解答题，每一部分题型的难度预设基本符合从易到难的分布。试题的表述形式简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式及作答方式坚持多样化，延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。

相比于去年，数学试卷在题量分布、分数设置等方面均有变化，调整了部分考查内容，出现了新颖的题目形式。例如选择题由8个小题，每题5分，调整为了10个小题，每题4分，总分保持不变；填空题由6个小题，调整为了5个小题，每题依然是5分，总分由30分降为25分；解答题依然是6个小题，但总分由80分提升为85分。在考查内容上有所调整，删减了一些历年常考的内容，如线性规划、算法和程序框图、参数方程和极坐标等。在题目呈现上出现了一些新的变化，用以区分不同能力水平的学生。例如第（17）题难度并不大，但思维的自由度较大，由考生自行选择设计问题并解答，凸显考生分析和解决问题的能力。

● 坚持考查基础知识和基本技能，夯实基础，强调综合

整份试卷注重对基础知识和基本方法的考查，主干内容重点考查。

例如，选择题的前5道题和填空题前3道题，涉及内容都是基础知识和基本方法，考查了集合、复数、二项式定理、三视图、两点间的距离公式、函数定义域、双曲线的性质、平面向量等内容。

在试题设计上，这些试题涉及的知识点相对较少、思维相对简单，易于解答。在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性，在解答题中重点考查了立体几何、三角函数、概率统计、导数、直线与圆锥曲线、数列综合等主干内容。解答题的前2道题，表述简单明确，集中考查立体几何和解三角形的主干知识及核心概念。再例如第（18）题，情境熟悉，问题清楚，重点考查读题、读表、计算等基本技能及方法。

● 坚持考查数学方法及数学本质，能力立意，凸显数学素养

试卷突出了数学学科素养，在关注考生未来发展的同时，以能力立意，强调了数学方法和数学本质的考查，在选拔功能等方面都作了精心设计。

例如，第（6）题表面上是解不等式，实质是在考查基本初等函数的图像，有助于学生建立形与数的联系，加深对事物本质和发展规律的理解和认知，体现了直观想象核心素养；第（18）题的解决需要学生分析数据，从数据中获得有用信息并形成数学模型，注重了对公民应具备的基本数学素养——数据分析的考查；第（20）题考查了解析几何中的主要方法，需要学生具备一定的数学运算核心素养，并能够程序化思考问题；第（21）题是以数列知识为背景的创新问题，梯度明显，重点考查了学生的逻辑推理素养，对学生有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和数学交流能力有一定的要求。此外，从第（18）题到第（21）题，虽然每道题都考查了数学的主干知识和主要方法，入口也很容易，但其出口并不简单，试题在让不同层次的学生均有所获得同时，进行多题把关，体现了试题的选拔功能。

● 重视数学应用，渗透数学文化，体现数学价值

应用问题在素材选取上，源于社会实际和学生的真实生活，考查学生数学应用素养、理性思维素养，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。

例如第（15）题，以环保部门要求相关企业加强污水处理，排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体，贴近生活，是对数学学习后所沉淀下来的素养的考查，要求考生能够在短时间内审清题意，理清解决问题的思路，建立适当的数学模型来解决问题，体现试题的教育价值。例如第（10）题，以2020年3月14日全球首个国际圆周率日为背景，结合中国优秀传统数学文化中的“割圆术”及近代数学史上西方的阿尔·卡西法，感悟数学“近似计算”之美，将美育教育融入数学教育。引导学生关注世界，学习世界灿烂的数学文化。例如第（18）题，以学生身边的两项活动方案来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关。这类问题重点考查数据处理能力，也增强学生用数据表述及解决现实问题的意识。

纵观整份试卷，在突出基本知识、基本技能和基本思想方法考查的同时，突出考查学生的数学素养，展现数学的应用价值。保持了北京试卷综合、灵活的特色，变中求稳，稳中求进，给不同能力水平的学生提供了展示的平台，对今后的数学教学起到了积极的引导作用。

点评专家

北京市东城区教师研修中心

张许合（高级教师）

北京市西城区教育研修学院

孙秀平（高级教师）

北京市朝阳区教育研究中心

蒋晓东（高级教师）

北京教育科学研究院

黄炜（高级教师）

北京教育科学研究院

李青霞（高级教师）

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来源丨转载自首都教育公号

图片 | 摄图网

责编丨何文洁 主编丨雷玲