luda 第二类面积分
如图，假设有一个房子，房顶在A点有一个天窗，在B点也有一个天窗，在A点的正下方C点，地板漏了一个洞。突然天上下来了雨，那么单位时间房子里进入的水有多少呢？
当然，在A处，单位时间内漏进来的水的体积是天窗的面积乘上雨的速度，即
。在B点，雨水只能通过
大小的面积进入（
是雨水与B面之间的夹角）房子，同理B点漏进来的水可以算出是
，对于C点来说，漏进房子里的水要从这一点流出，流出的水的的体积可以算出是
。
显然房子里边的水是A，B漏入的水减去C点流出的水。对于房子来说，有流进房子的雨水，也有流出房子的雨水。相似的，我们在研究第二类面积分的时候，要给曲面确定方向。如果是闭合曲面，有内侧和外侧之分，如果不闭合，可以分为上侧下侧；前侧后侧，左侧右侧。
有了这么一个房子，我们可以算出不同点进入房子里的水的体积了。现在，有一个与众不同的人，非要有自己的style，把房子的房顶修成了一个任意的曲线，并且可以让水自由的流入。可是天公不作美，雨水被风刮得方向难以确定，雨也下的忽大忽小，对于这个有自己style的房子，我们如何求从房顶进入的水的体积呢？同样，我们还是用微积分这个有力的武器帮我们来解决这个问题。
把曲面（S）分为许许多多的小曲面
，把
上的各点流速视为常向量，根据之前以曲代直的方法，我们可以把这个曲面视为一个平面，并且把与这个平面垂直的法向量看作是这个平面的方向，我们就可以得出通过这个小曲面流入的水Q了：
，这个近似值就可以看作是为
底，
为斜高的小柱体的体积。接着，我们把流过各个小曲面流量的近似值相加，得出流量Q的近似值：
当所有曲面的直径
时，平面与曲面变得越来越接近，我们便得到了流量的精确值
而通常我们把这个过程叫做：分，匀，合，精。
这样我们便得到了第二类面积分的定义
把之前做的工作（参考之前的文章第二类线积分与格林公式）再重新做一遍，把
在直角坐标系中表示出来
则有：
这样第二类面积分可以表示为：
和之前线积分类似，
表示在一个封闭曲面上的第二类面积分。
高斯公式
首先对于高斯公式，它到底是个什么样子呢？
这个公式猛地一看很复杂，左边是进行了一个体积分，右边呢是在三个封闭曲面上的第二类面积分，你一定好奇这两个毫无关系的东西之间为什么有这样的关系，我们又如何能够得到这个关系呢？
在研究这个问题之前，我们可以想象有一个气球，我们可以把它套在一个水龙头上，这个气球不断的变大，这时候我们把水龙头关闭，然后用一根针把这个气球刺破。生活经验告诉我们，从气球表面流出的水等于之前从水龙头放入的水。自然我们现在想知道如何求气球里面的水的体积呢？为了简便运算，我们假设这个气球是一个长方体气球，水流的速度在x，y，z方向上都有分量，我们取一个正方体的无限小微团，其边长分别为
现在水平速度P对x轴求偏导，得到速度沿水平方向上的变化率：
则在B点，速度变为
，在时间
内，AB变化
，同理，我们可以得出在y，z方向上的变化
。经过
，体积变为
上述相对体积变化量除以原微团体积,除以时间
，我们就可以得到单位时间内的相对体积变化率：
化简后得到
所以对于每一个小的微团，单位时间内的相对体积变化率为
对上述结果进行积分，我们便能得到这个气球内部的水的体积
也就是高斯公式的左边。
上文说过，这个气球里边的水就等于从气球表面流出的水，显然另一种求水的体积的方法就是，把长方体气球表面通过的水的体积加起来，根据上文我们已经知道了的第二类面积分，我们可以很轻松的求出通过边界的总流量为
（你可以自己动手做一做哦！）
这样我们便得到了
把这个公式叫做高斯公式，通过这个式子，我们把建立在空间区域上的三重积分与边界曲面上的第二型面积分联系在了一起。
历史文章：第二类线积分与格林公式
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参考书目：
工科数学分析基础 下册-马知恩等主编-高等教育出版社-1998