luda 在上篇文章《如何通过建模快速求解任意倒水问题？》中，我向大家详细介绍了如何通过建模将倒水问题转化为几何问题。接下来，我将向大家演示如何用这种建模方法求解任意倒水问题。
一、倒水问题
如果一只12升的水杯盛满了水，另有两只分别是8升和7升的空水杯，利用这两个空杯子，我们能不能倒出任意分量的水出来？如倒出2杯6升、5升的水，2杯5升、5升的水，2杯4升、3升的水，2杯1升、2升的水……
二、建模
如上图所示，我们建立了一个直角坐标轴以及一个几何模型Oa8d4c5b7。这个模型有以下特点：
1、Oa8的长度为8，代表着8升的水杯中的水量，Oa8被a1~a7平分为8等份。
2、Ob7的长度为7，代表着7升的水杯中的水量，Ob7被b1~b6平分为7等份。
3、a8d4长度等于12-8=4，代表12升水杯中的水倒满8升水杯后最多还能往7升水杯中倒入4升水，AD被d1、d2、d3平分为4等份。
4、b7c5长度等于12-7=5，代表12升水杯中的水倒满7升水杯后最多还能往8升水杯中倒入5升水，b7c5被c1~c4平分为5等份。
5、d4c5上的点代表12升水杯中的水已全部倒入9升、5升水杯中，d4c5被d5、d6平分为3等份。
如果我们以Oa8为x轴，Ob7为Y轴，12升水杯中剩余的水量表示Z轴上的数字。那么，我们就能表示出Oa8d4c5b7上任意一点的坐标。
在上篇文章中，我们通过分析知道：整个倒水过程，各水杯中的水量，只可能用Oa8d4c5b7上的点表示，无法用Oa8d4c5b7内的点表示。每次倒水过程只能用模型中画好的各点间的连线表示。
有了上面的结论，我们只需在模型中画出我们需要的线路，就能找到倒水问题的解了。
三、用模型解决倒水问题
1、如何使三个水杯中的水量分别为11升、0升、1升？
a1（1，0，11）
此时，模型中a1（1，0，11）、b1（0，1，11）是我们的目标。a1与b1间可以相互转换，这里我以a1举例，我们只需要从a1点逆向出发，找到到达O点的路线，再将线路倒回来，就得到了解题的办法。
我们很快就找到了倒水线路：o-a8-c1-a1。（3步）
上面线路中的倒水过程，我们用表格的形式画出来，就得到了a1（1，0，11）的倒水过程：
a1的倒水过程
在到达a1的过程中，我们的线路也经过了a8（8，0，4）和c1（1，7，4），这样a8、c1的倒水问题也解决了。
2、如何使三个水杯中的水量分别为10升、0升、2升？
此时，模型中a2（2，0，10）、b2（0，2，10）是我们的目标。我们以a2举例，只需要从a2点逆向出发，找到到达O点的路线，再将线路倒回来，就得到了解题的办法。
我们很快就找到了倒水线路：o-a8-d4-b4-a4-c4-d3-b3-a3-c3-d2-b2-a2。（12步）
我们将倒水线路拿出来，会看得更明白：
上面线路中的倒水过程，我们用表格的形式画出来，就得到了a2（2，0，10）的倒水全过程：
上面线路如果用水杯画出来的话，就是下面这个过程：
为了到达a2，我们的线路也经过了a3（3，0，9）、a4（4，0，8）、a8（8，0，4）、d2（8，2，2）、d3（8，3，1）、d4（8，4，0）、b2（0，2，10）、b3（0，3，9）、b4（0，4，8）、c3（3，7，2）、c4（4，7，1），这样a3、a4、a8、d2~d4、b2~b4、c3、c4的倒水问题也解决了。
3、如何使三个水杯中的水量分别为5升、0升、7升？
此时，模型中a5（5，0，7）、b5（0，5，7）是我们的目标。我们以a5举例，只需要从a5点逆向出发，找到到达O点的路线，再将线路倒回来，就得到了解题的办法。
我们很快就找到了倒水线路：o-a8-d4-c5-b7-a7-d5-b5-a5。（8步）
上面线路中的倒水过程，我们用表格的形式画出来，就得到了a5（2，0，10）的倒水全过程：
在到达a5的过程中，我们的线路也经过了a7（7，0，5）、a8（8，0，4）、d4（8，4，0）、d5（7，5，0）、c5（5，7，0）、b7（0，7，5）、b5（0，5，7），这样a7、a8、d4、d5、c5、b7、b5的倒水问题也解决了。
4、如何使三个水杯中的水量分别为6升、0升、6升？
此时，模型中a6（6，0，6）、b6（0，6，6）、d6（6，6，0）是我们的目标。我们以a6举例，只需要从a6点逆向出发，找到到达O点的路线，再将线路倒回来，就得到了解题的办法。
但是我们很快发现，从a6出发，线路一直在循环，无法到达o点，也就是说，我们无法使3个水杯中的水分别为6升、0升、6升。
至此，我们就分析出了所有可能的倒水情况。
好了，这一讲就到这里了。
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