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【北京高考数学2022】专题立足2021年北京中考数学,如何利用这个暑假备考2022年中考

新初三的学生和家长们,如何利用这个暑假,备战2022年北京中考数学

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2021年北京中考数学试卷重难点分析


中考的关键题型,决定了一张试卷的难易程度,决定了考生的考试节奏和最终分数。


以2021年北京的中考数学为例,试卷中的第8题(选择题最后一道题)、第16题(填空题最后一道题)、第22题(平四综合)、第23题(函数小综合)、第24题(圆综)、第26题(二次函数压轴题)、第27题(几综压轴题)、第28题(新定义类函数动态压轴题),这8道题就是本次数学考试的关键题型,同学们在考试过程中可能被“卡住”的地方也主要集中在这几道题上。


接下来,我们对这8道题做一下简单的逐题分析。



01

第8题——选择题最后一题




第8题,选择题最后一道题,答案选A。这道题比较简单,考察实际问题中函数图像的关系,和2020年出题方式基本一致,但是与2019及以前的出题方式不一样。下题为2020年北京中考数学第8题。

2019年及以前,选择最后一题的变化性还是很多的,2019年考的数据的整理与分析,2018年考的地图上的坐标表示,2017年考的概率的分析……那么2020和2021年的这种考察方式会否继续固定下来,至少2022年继续沿用,如果真的如此,那么这道题基本上也可以归入“白给”题的行列了。



02

第16题——填空题最后一题




第16题,选择题最后一道题,答案第一个是2:3,第二个是1/2。这道题有点类似于小学奥数题(跟去年一样),需要用到设而不求的方法来处理条件。同时,这道题虽然是实际生活的应用题,但是出题的条件却跟我们一般对加工材料问题的理解不太一样。在绝大部分学生的常识理解中,流水线加工材料的速度应该是一样的,无论多少材料,每小时加工的量应该是一个定值,但这道题很显然,加工的速度要随着加工总量的变化而变化,在做题时,一定要注意根据题目要求来理解,避免掉入这个“坑”里。



03

第22题——四边形小综合




第22题,四边形小综合,第(2)问,BF=4,AD=3,就是3/4/5的一组勾股数。每年考试都会出一道四边形的综合类试题,第一问求证一个特殊的四边形,第二问结合三角函数、勾股定理、甚至相似,求线段的长度。今年的这道题,难度相对较低,连辅助线都不用做,而且两步出结果,基本不用花什么时间思考和写过程,基本“白给”。



04

第23题——一次函数综合




第23题,一次函数的综合题,第(2)问m的取值范围是1/2《m《1。明确两个临界状态的位置即可,如下图所示:

这道题高仿2020年的这道函数小综合的题目,如下:

对比这两道题来看,除了换了个数字,基本上没有任何区别。2019年之前,这道题广为人知的名字叫“一反综合”,往往是考察反比例函数与一次函数的综合类问题,有一定的难度,而且今年大部分区一模、二模做的函数综合题也还是做的“一反综合”,而今年中考直接从这道题中删去了反比例函数的知识,单纯考察一次函数的内容,难度直接降低了不止一个层次。这种出题的方式未来(或者说明年)是否会继续沿用,仍然存疑,不过如果真的以后都是如此,那这道题也可以直接变成“白给题”了。



05

第24题——圆综




第24题,圆综,第(2)问,CG=6,OF=25/11。这道题相比去年可能还要更简单一些,连辅助线都不用做,直接利用一个相似就能解决问题。相信今年圆综应该不会成为很多同学的“卡壳”的地方。



06

第26题——二次函数压轴题




第26题,二次函数的压轴题,第二问利用数形结合的方法可以很快出结果,但是写过程的时候最好还是使用代数的方法来说明。最后的结果是y2<y1<y3。

这道题跟2020年的二次函数压轴题(如上图)出题方式比较类似,都是对称轴+比较函数值大小的问题,但是又有所区别。这类问题在2020年中考之前,一般在选择、填空题中出现的次数比较多,也不需要详细的过程说明,只需要进行大小判定即可。同样类型的问题,从选择、填空题,放入二次函数的代综压轴题,肉眼可见的下降了二次函数压轴题的难度。往年选择、填空的类似问题,简单举几个例子如下:



07

第27题——几综压轴题




第27题,几何综合的压轴题,主要围绕中点、角平分线来进行全等或相似的构造,从而解决问题。这道题难度适中,算是中规中矩,比2020年的题稍难。鉴于明天会发布一篇关于本题的视频讲解(欢迎订阅),这里就不展开论述了,但是需要说明的一点是,这道题最简单的方法是使用“四点共圆”来解决。虽然“四点共圆”这种方法不能直接作为中考中的具体过程来写,很多学校也没有介绍过这种方法,但是在没有更好的解题思路的情况下,一来它可以作为一种“合适”的方法,明确问题的结果,另一方面,我们其实可以通过适当的论证,利用相似三角形,自己证明“四点共圆”的结论,从而形成正确,完整的解题过程。所以,后续学习中,要加强“四点共圆”这个方法的学习和应用,学会借助它简化问题,简化思考,得到结果。



08

第28题——新定义类函数动态压轴题




第28题,新定义类函数动态压轴题,也是本次考试中最难的一道试题了。跟往年历年的这类压轴题相比,今年的出题方式也算是稍微略难。难点就在于这道题是一个有关旋转的问题,而旋转是所有几何变化中最难想象的一种情况,它比平移、对称这两种变化都要难想明白一些,不好画图,也就不好分析问题了。2020年的第28题跟这个非常类似,也是线段进行变换之后,落在圆周上当弦,但是区别就在于2020年的28题,是平移(如下图),个人觉得,会相对简单一些。




2021年北京中考数学试卷整体分析


分析完2021年的北京数学中考试卷中的这些“关键题”,我们对于本次的试卷能够形成以下的三点认识:


(1)试卷难度整体偏简单,很多“关键题”都变成了“白给题”,但是压轴题最后一题难度稍大,满分估计不会太多,但是高分会比较集中。


“关键题”是学生在做题过程中遇到的一道道坎儿,他们会决定考生在考试时的节奏。回想堪称近十年最难的2019年北京中考数学,很多“高手”都是因为第16题、第22题(圆综,要自己画圆)、第23题(江湖人称“小云背诗”)打乱了做题的节奏,考场上直接就懵了,然后错了很多不该错的题,同时也浪费了很多时间,没来得及思考最后两道题,最后导致发挥完全失常。而2020年和2021年的这两年数学题,这些“关键题”肉眼可见的变简单了,一方面题会做了,分拿到了,另一方面做题速度变快了(有学生40分钟就做到了第26题),为思考最后的两道压轴题留下了充足的时间。满分高分的人数自然就“水涨船高”了。


(2)对于水平中上的学生而言,压轴题是争夺的关键。


往年的时候,一些“关键题”还可以成为区分分数的标的,能把一些水平不同的学生拉开一些分数,但是在今年“关键题”难度普遍简单的情况下,想要拉开分数,只能靠压轴题了。是100分,还是98(第28题最后一问写对一部分范围),还是97(第28题最后一问是否能做出来),还是95(除了第28题最后一问,第27题最后一问能否写出证明的过程)……基本上“高手们”在压轴题上失多少分,就会是整个卷面的失分了。



(3)总分也是高分扎堆,“容错率”变得极低。


虽然数学相对简单,但是毋庸置疑的是它依然是最难的一个学科,是北京中考所有学科中最“拉分”的一个学科。今年数学试卷难度比较低,直接导致的就是总分的升高。这对于部分“偏科”的学生来说,是非常不利的,任何一科的失误都可能导致满盘皆输。回想去年570-580(含加分)分段全市接近1500人,海淀368人,西城291人,东城238人……偏科的结果就是直接与名校“失之交臂”。





《北京中考数学进入“后疫情时代”》


那么最重要的,分析完2021年的中考数学试卷,我们立足2020年和2021年的中考,对于我们2022年接下来的备考会有什么启示?


最近一个词比较火,叫做“后疫情时代”。结合2020年和2021年的中考数学情况,说不定北京中考数学也要由此进入“后疫情时代”了。我给“后疫情时代”的北京中考数学定位为:相对简单、强调创新、考察能力、压轴区分。


在24号之前,很多的老师,包括我,对于今年数学试卷的预测都是不会太难,但也不会太简单。一方面肯定比2020年稍难,毕竟当时整个初三下学期都没有在校上课,学生们直接去参加中考,跟今年的学习情况明显有区别,另一方面肯定没有2019年难,呵呵,这个就不用多说了。所以,预估难度会回归到与2018年、2017年相当的水平,也就是“关键题”有区分,压轴题中规中矩。


但是很显然,这次“中考数学”在“关键题”上与这个预测相去甚远——“关键题”基本上可以说一马平川(除了第16题大家没做过类似的练习,觉得有点“卡壳”),区分度并不明显。


“后疫情时代”的北京中考数学,如果和2020年、2021年情况类似,我们应该如何进行数学学习呢?更具体的,对于初二学生而言,应该如何从现在开始,有计划、有针对性的备考2022年北京中考数学呢?


(1)一定要注重思维能力的训练。


北京中考数学最大的特色就是创新,每年的中考数学都必然会有一些背景新颖的创新型题目,比如今年的第16题,出题方式和角度都非常新颖,还比如今年的第26题,上文也提到了,这类题往往是以选择、填空的形式出现,主要就是考察学生对二次函数对称性的理解和应用,不要求写过程,了解即可,但是今年作为一道压轴题出现,明确要求写清楚求解过程,也就对学生的思维能力提出了更高的要求……这类题往往“难以捉摸”,什么“刷题”、“专题”练习往往没办法“把准它的脉”,唯有从根本上提高自身的思维能力,加深对知识点的理解和认识,才能真正做到“以不变应万变”。


(2)注重数学基本功的练习。


当试卷整体难度下降,容错率变得非常低时,对学生简单题、常规题提出了更高的要求——不能出错!如果考试中还会出现计算错误、看错题、读错数、画错图等等情况出现,一定要及时纠正,不能在简单题上有任何失分。很多学生会觉得所谓的这类“马虎”都是小问题,下次考试认真点就能解决,殊不知这其实是最要命的问题,所谓的“马虎”都是因为自己思维习惯、理解惯性等原因造成的,真正想要改起来“殊为不易”。只有先引起重视,真正认真对待起来,才能慢慢扭转错误习惯,夯实数学基本功,杜绝此类问题的出现。


(3)中考大纲被取消,学生一定要注重初中数学知识体系和解题方法的全面性。


今年北京中考不仅取消了《考试大纲》,甚至连《考试说明》也一并取消,这已经不是一个新鲜事了。取消这两本重要的备考指导“神器”,从两个侧面反映了近年来北京中考数学的命题导向:


①增加命题的灵活型和探究深度。没有了《大纲》和《说明》的限制,中考数学的命题不再受到任何限制,命题老师可以从初中数学知识体系的任何角度出发,以任何难度考察学生对该知识点的理解和掌握。


②增加试题的开放性和自由度。考前没有关于题型、分值分布的说明,命题老师也可以任意安排试题的结构和形式,给命题提供了更加宽广的空间。结合北京中考在试题创新上的努力,在命题形式上也变得更加自由。


试题越来来灵活,出题越来越“难以把握”,想要跟上北京中考数学改革的步伐,唯有以不变应万变,搭建全面的初中数学知识体系,掌握全面的解题方法和问题探究手段,才能“傲立潮头”,进而“笑傲江湖”。



(4)重视对压轴题解题能力的提升。


上文也提到了,高手之争主要集中在“压轴题”的得分上。在试卷整体难度降低的情况下,越来越多的学生在考试中有精力、有时间来处理最后三道压轴题了。所以,对自己有要求的同学,在解决基础题、常规题的基础上,要开始制定对压轴题解题能力的提升计划。压轴题能力提升,绝非一朝一夕之功。


以“几综压轴题”为例,首先要系统梳理此类压轴题的常见问题背景、常见条件的辅助线构造方法、常考模型的识别与应用。其次,要在练习过程中,深入思考,不断总结,积累经验,在做题中梳理,在梳理中熟练,把初中几何有关内容熔于一炉,进而达到对于压轴题“一题多解”再到“多题一解”的境界,才能对变化莫测、常考常新的“几综压轴题”做到心中有数,“兵来将挡水来土掩”。


而中考第28题,“新定义动态函数压轴题”,基本上是北京中考的“独创”,也是北京中考数学的“精髓”所在。不光市面上没有此类压轴题的学习书籍,其他省市的中考数学中都很难看到类似的试题。这类题非常“稀有”,在练习的过程中,每一道题都要认真思考、反复总结,明确每一道题能够带来的收获和经验,熟练应用诸如“化动为静”、“化繁为简”、“两动变一动”等等处理问题的手法和技巧,从而真正提高问题分析能力,“以不变应万变”。



2021年中考之后,

新初三的这个暑假应该怎么办


以上是大方向上对于如何准备初中数学的指导,细化到这个暑假,在具体的细节和行动上,新初三的学生又该如何安排呢?


(1)一定要利用好这个暑假来进行复习、查漏补缺。


我相信很多学校的老师已经提醒过孩子们:现在要把自己当做一个初三学生来准备中考了,这句话可是“金玉良言”,背后是老师多年经验的总结,但是我知道,很多学生和家长根本没有拿这句话当回事儿。初二结束的这个暑假,是中考前最后一个完整的假期了,而且时间还很长,拿这段时间来为自己的中考查漏补缺、填补窟窿实在是再好不过了。可以说只要认识到自身的问题,做好相应的规划安排,任何一个学生都可以在这个暑假完成一个数学学习上的“蜕变”。


①初一、初二学习的知识,说到底还是比较简单的,重难点有但是并不多,利用这个暑假完全可以完成上文中提到的夯实基础的工作。


②容易“马虎”出错的问题,也可以在这个暑假好好“治治”。这类问题本质上是思维的错误惯性导致的,它不涉及到知识点的学习,只与学生的思维习惯、读题习惯有关系,越早纠正这个问题,效果当然越好。


(2)利用暑假做好初三知识点的预习。


海淀这边大部分学校已经学到了初三上的二次函数章节,东城提前学习的是反比例函数……各个学校基本上都会提前学习,就是为了省出时间来备战中考。


而作为我们自身而言,也要对自己提出更高的要求,最好能利用这个暑假提前预习完整个初三的所有知识点,从容应对初三上学期的数学学习。


如果能在初步预习的基础上,适当做题巩固,甚至完成对上文中“关键题”的练习和突破,那将为后续的初三学习腾挪出更大的空间,初三的学习也会变得更加“游刃有余”。


(3)进行思维训练,提升压轴题解题能力。


中考试卷中“几综压轴题”的难度和所涉及的知识点,与我们初二期末考试中的“几综压轴题”基本一致,出题的背景、提问的方式、破题的方法、常见条件的辅助线构造、全等模型的应用和识别等等也都没有区别。所以,对于想在中考中取得高分的同学,利用暑假这个机会,系统性梳理“几综压轴题”的分析方法、解题技巧和条件处理的突破口,进一步提升自己分析、解决问题的能力,就显得尤为重要。


如果在暑假提前预习了圆的相关知识,那么中考第28题,“新定义类函数动态压轴题”也就没有了知识点上的障碍,完全可以在暑假的时间里,抽出时间练一练这类试题,先感受一下这类问题的强度和难度,至少做到“心中有数”。


最后,暑假时间长,每天抽点时间练一两道“几综压轴题”或者“新定义压轴题”,可以说是很“悠闲”的了,能在这种“悠闲”的时光中练习压轴题,也是中考前的最后一次机会了。



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