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2021年广东中考数学卷第25题(广东历史上最难数学中考)

已知二次函数y=axx bx c的图像通过点(-1,0),所有实数X都有4x-12axx bx c2xx-8x 6。

(1)求该二次函数的解析式。

(2)若(1)中二次函数图像与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C,M是(1)中二次函数图像中的动点。问在x轴上是否存在点N,使得A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在求出所有符合条件的点N坐标,若不存在说明理由。


解答

作图,画出三个图像

第25题图

(1)

已知4x-12≤axx+bx+c≤2xx-8x+6

计算不等式4x-12≤2xx-8x+6,xx-6x+9≥0,(x-3)(x-3)≥0,

当x=3时4x-12=2xx-8x+6,当x≠3时,4x-12<2xx-8x+6。

y=4x-12图像与y=2xx-8x+6相交于点(3,0)。

讨论二次函数y=axx+bx+c,当a<0时,图像开口向下,不满足题目条件。

当a>0时,图像开口向上,并且与x轴相交于点 (-1,0)。

如果函数y=axx+bx+c与x轴只相交于一点,二次函数y=axx+bx+c最小值为0,二次函数y=2xx-8x+6在x=2时有最小值-2,不满足axx+bx+c≤2xx-8x+6条件。

如果函数y=axx+bx+c与x轴只相交于两点,另一个交点一定在(3,0)处。因为只有这点才能满足4x-12≤axx+bx+c≤2xx-8x+6条件。

y=k(x+1)(x-3),计算k值,k(x+1)(x-3)≤2xx-8x+6,化简变形可得(2-k)xx+(2k-8)x+(3k+6)≥0

△=(2k-8)(2k-8)-4(2-k)(3k+6)≤0,化简得(k-1)(k-1)≤0,k=1。

y=k(x+1)(x-3)=xx-2x-3,a=1,b=-2,c=-3。

(2)

y=xx-2x-3,与y轴相交于(0,-3)点。

分情况讨论

当CM和AN是平行四边形两条边时

有两种情况


作CM//x轴,M点坐标:(Mx,-3)。

Mx*Mx-2Mx-3=-3,解得Mx=0或者Mx=2,对应CM两点。MM点坐标:(2,-3),CM=2。

AN=2,N点坐标(3-2,0)和(3+2,0) 就是(1,0)和(5,0)。

当CM和AN是平行四边形两条对角线时

有两种情况

设M点坐标(x,xx-2x-3)。P为CM中点。P点在x轴上。(xx-2x-3-3)/2=0,解得x=1±√7。

P点在x轴(1±√7)/2。|PA|=3-(1±√7)/2,N点x坐标=3-2|PA|。算得N(-2±√7,0)

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