【2022北京中考数学】2020年北京中考数学试题深度解析

2020年北京考试因故推迟到7月17日至19日，数学考试在7月17日下午举行到14:30 ~ 16336030。

所用试题来自网络，可能存在图片不清晰导致的错误，如有发生，请以官方版本为准。

2018年的北京中考数学试卷分值分布格式已经有所调整：全卷满分100分，28道题目。其中选择题8道题，每题2分，共16分；填空题8道题，每题2分，共16分；解答题12道题，共计68分。今年依然沿袭这样的分值分布。

今年全套试卷难度简单适中，四平八稳；最后一题新定义压轴题的最后一问难度较大。

本文包含以下内容：

• 近三年北京中考的选择题、填空题的知识点汇总对比；
• 2020年北京中考数学试题逐题解析；
• 代数压轴题可能的题源；
• 几何压轴题几种不同的方法；
• 新定义压轴题详细的解析，并有动态视频供参考；
• 试卷总结与备考建议。

第一部分 选择题

选择题每题2分，8道题，共16分。

选择题 第1题

三视图

【解析】

多简单啊，和2018年的风格一样！

2018年北京中考：

选择题 第2题

科学计数法

【解析】

大数的科学计数法，不是计算，没有坑。

选择题 第3题

对顶角相等

【解析】

第3题了还是这么简单，小伙伴们得多开心啊^_^

选择题 第4题

中心对称图形和轴对称图形

【解析】

直接以核心的数学图形如题，不是建筑、标识、图标等。

选择题 第5题

多边形外角和

【解析】

对数学公式“赤裸裸”的考察，这是考察公式/常识的“识记”吗？！

选择题 第6题

数轴

【解析】

作为选择题，难度很小，逐个对比即可。

选择题 第7题

概率

【解析】

摸球算概率这个题型在2015年的北京中考中出现过一次：

选择题 第8题

函数图象题

【解析】

今年选择题最后一题不是统计阅读/分析了，考察了实际情形下的函数问题。

认真读题，可知——这是一道“注水”的选择题压轴题！！

本题可以看做是教材内容的改编，或其他省市中考题目的翻新/改造。

第二部分 填空题

填空题每题2分，8道题，共16分。

填空题 第9题

分式

【解析】

常规题，基础题，人品题。

填空题 第10题

估值计算

【解析】

一元二次方程判别式的应用。之前多在解答题中出现，最近一次出现在填空题要追溯到2015年。

填空题 第11题

估值

【解析】

估值与计算。

2017年北京中考考过一道类似的题目：

填空题 第12题

二元一次方程组

【解析】

简单题。二元一次方程2018年出现在选择题，出现在填空题中出现，还是北京中考自改革开放以来的第一次吧？！^_^

填空题 第13题

一次函数与反比例函数

【解析】

考察一次函数和反比例函数图象的中心对称的性质。

值得注意的是2019年北京中考也考了一道类似的题目。

填空题 第14题

开放题

【解析】

开放题是目前的一种热门/趋势，考察思维的灵活性。本题综合考察了等腰三角形三线合一的性质以及三角形全等的判定。

填空题 第15题

网格图/面积模型

【解析】

基础题型，网格题北京中考已经考了好几次，之前是角度比较和计算，今年是虽然是面积比较，实质上还是角度分析/平行线的判定——连接CD，可知CD与AB平行，考察的是面积模型。请注意，这里，如果用计算的方法进行比较，并不是恰当的好方法。

填空题 第16题

逻辑推理

【解析】

如下图分析即可。本题答案不唯一，需要注意是写出一种购票顺序。

作为填空题的最后一题，考前预测两个类型，其一是去年的风格——多选题；其二是高频大热门——逻辑推理。逻辑推理题型可以看做是与北京高考的呼应。

看到这道题时，想起另外一道经典的试题，也和读者分享一下:

【补充题目】

甲、乙、丙、丁四位同学去水房打水，每人打水时间分别为2、3、4、5分钟。怎样安排他们的打水顺序，才能使排队的总时间最少？是多少分钟？请写出打水的先后顺序。

第三部分 解答题

解答题应写出文字说明、

演算步骤或证明过程！

解答题 第17题

混合运算

【解析】

基础题型，送分题，考察“人品”的题目，做错了对不起辛辛苦苦的父母和勤勉工作、苦口婆心的老师。

解答题 第18题

解不等式组

【解析】

基础题型，送分题。

北京中考近几年的解不等式组都非常简单/完全相同。

解答题 第19题

整式的计算

【解析】

基础题型，值得注意的是，北京中考近四年来都没有在解答题位置出现过整式的乘法与整体代入题型了。最近的一次是2015年的中考了，与本题也几乎完全相同：

解答题 第20题

几何作图

【解析】

本题考察平行线的基本性质，同圆当中同弧所对的圆周角和圆心角的关系。

北京中考近几年非常重视“几何作图/尺规作图”的直接考察，下面将历年来的几何作图的解答题汇总如下：

2019年几何作图题太多，但是单独在解答题中没有出题；

2018年在解答题的第一题的位置，单独考察了“过直线外一点作已知直线的平行线”；

2017年作图题出现在填空题最后一题的位置，“求作Rt△的外接圆”，写作图依据；

2016年出现在填空题最后一题的位置，“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”，写作图依据；

2015年出现在填空题最后一题的位置，“作一条线段的垂直平分线”，写作图依据。

解答题 第21题

四边形的证明与计算

【解析】

（1）矩形的证明，基础知识/核心概念的考察先证平四，再证矩形即可。

（2）非常简单/综合的一道计算题。菱形性质可得AD=CD=10，△ACD中运用中位线定理可得OE=5（或直角三角形斜边中线性质），△AEF中运用勾股定理可得AF=3，矩形性质可得FG=OE=5，于是BG=2.

解答题 第22题

一次函数与反比例函数

【解析】

（1）y=x+1，基础题型。

（2）考察一次函数的系数。

临界情形为m=2，又因为x＞1，故m≥2。

这里其实考察的是一次函数的“斜率”和“倾斜角”的关系，是高中解析几何的基础知识。

解答题 第23题

圆的证明与计算

【解析】

（1）基础题型；

（2）第一步，分析OE为△ABD的中位线，则OE=4；第二步，△COF∽△CBD，且相似比为3:4，于是可得OF=6，据此可得EF=2.

当然，这道题目还可以采用其他的方法进行计算。

解答题 第24题

函数图像探究题

【解析】

（1）减小；减小；减小。

（2）描点——连线即可，注意是“光滑”的曲线，且不是曲线段。注意题目要求是画出x≥0的部分。

（3）考虑图象左侧x=-2时的端点值即可。

下图是示意图，仅供参考。

解答题 第25题

统计阅读题

【解析】

今年的统计题目阅读量不大。

（1）平均数的计算，

（100x10+170x10+250x20）÷30≈173.

（2）倍数计算，173÷60≈2.9。

这一问来有点“莫名其妙”啊，只是考察除法计算/保留小数点？

另外，这里的计算，是用173还是用原来的确切的值，有时候真的会对小数点后的第一位有影响。

（3）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况。数据越集中，表明方差越小，数据越分散，表明方差越大。在图中作出如图所示的辅助线，则方差大小显而易见。这一问的设问形式，和北京高考的风格极其相似，事实上，在北京各城区的高三模拟题中，散点图、直方图、表格等数据的方差比较，也是反复考察的。

需要注意，方差和极差具有各自不同的数据特征，几组数据当中，极差最大的一组数据，方差并不一定也最大。

这里需要吐槽一下，刚拿到试卷时候，本题的散点图是下图的样子，真是大吃一惊啊，竟然有一个“离群点”（下图圆圈内的那个孤立的点），觉得这样考察也太奇葩了吧！不过，凭借对北京中考十余年的第一现场的实战经验，觉得不太可能，经过仔细核对，果然，这个点是“假的”，可能是PDF版本扫描时的“意外”。

第四部分 压轴题题

解答题 第26题

代数综合题

【解析】

构思精巧、推陈出新的一道题。

（1）考察抛物线的轴对称的性质，这里需要注意抛物线经过（0，c），心在对称轴为x=1，则x1=0，x2=2.

（2）稍有难度的一小问。

首先，抛物线开口向上，那么距离对称轴越远说明对应的函数值越大；

其次，考虑到对称性，则点M、N横坐标的平均值应大于t，才能使得y1＜y2成立；

第三，结合题意，可知t≤3/2；

第四，检查，并且单独考虑“=”是否能够取到，当t=3/2时，x1+x2>t依然成立。

【另解——代数计算】

今年北京中考这道代数压轴题，可以看做是经典试题的改编，下面提供两道与此类似的题目，供读者鉴别：

【题目一】

【题目二】

再来观摩一道其他省份的中考真题。

【题目三】

解答题 第27题

几何综合题

【解析】

先来说两点：

第一，中点的应用，如果考生熟悉中点的四种辅助线模型，那么这道题的分析时间会大大缩短。

第二，如果考生能够从第一问获得解题的经验，即AE2+BF2=EF2，据此进行类比分析，那么第二问的分析时间也会大大缩短。

下面对第二问的分析提供几种不同的思路供读者参考，分析如下图所示。

当然，上述六种方法，感兴趣的初二同学，还可以直接假定点E在线段AC上进行探究。

下面补充一道类似的中点模型的应用的题目，供读者参考。三条线段二次型的类型，考题太多了，回去翻翻讲义和习题，“集中线段”的思路都差不多，这里就不再举例了。

【中点模型】

解答题 第28题

新定义综合题

【解析】

新定义试题重在“新”，“新”才能背景公平，才能最大限度的发挥考察的功能；另一方面，核心素养不变，思维方法不变，又强调了通法通解。本题也不例外，依然遵循“点——线——圆”这样的设问形式，难度逐级增加，解题过程注重数学活动经验的积累。

（1）铺垫类型，帮助考生拿到分数、熟悉题目、进入状态。两条弦的数量关系是平行，点A与点P3的线段的长度等于线段AB到圆O的“平移距离”。（哎呀，这一空的语言叙述是不是很“绕”啊，直接选择题不好吗？^_^）

需要注意的是，这里线段AB是“水平”的，但是，题干的描述并未限定线段AB一定水平，事实上，下面的两个小问题，AB都不是水平的。

（2）如果考虑到“几何直观”，直线与x轴的夹角为60°，平移之后，考虑到圆O的半径为1，那么可以得到一个正三角形，可以迅速作出下图所示的辅助线，据此可以计算AA'=1。

如果并不能快速“识别”直线与x轴的夹角为60°，那么就需要稍作计算进行分析了。“几何直观”、“先猜后证”是，是一种数学的、科学的思维方式。比如上面的几何压轴题27题，第二问也是在第一问的基础上，也可以看做是“先猜后证”的应用；再比如今年北京高考的解析几何（全卷倒数第二题），最后一问也是妥妥的“先猜后证”的类型。

（3）难度继续增加，思维链条比较长，分步骤进行分析。

第一步，确定相关轨迹。

确定点B的轨迹，因为线段AB=1，因此，点B的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆。

确定点A'的轨迹。点A移动之后的位置。因为点A移动之后一定要落在圆O上，因此点A'的轨迹就是圆O。

确定线段A'B'的位置，事实上，结合（2）可知，线段A'B'与以O为圆心，半径为二分之一根号3的圆相切，如图所示的紫色圆。

第二步，确定基本的分析“模型”。

首先，转化最值模型——穿心线。将“求d2的取值范围”转化为“点A与圆O上任意一点的距离范围”，作出穿心线，如图所示。

第三步，计算d2的最小值。如图所示，可以比较容易求得平移距离的最小值为3/2.

第四步，计算d2的最大值。

这里需要重新理解题意，即“线段AA'长度的最小值”，根据圆的对称性，可知平移过程中，有两个位置都可以是的AB恰好落在圆上，那么，就对应两个AA'的值，需要取较小的那个值作为平移距离。如果对此理解不深入，就很容易误以为穿心线的远端是一个极端情形，事实上，并非如此，如下图所示的AP和AM。读者也可参考下面的动态示意图进行进一步的理解。

继续分析，如下图所示，连接OA，并过O、A分别作直线OA的垂线，与图示的圆交于S、T和H、K。

对于圆A上任意一点B，连接AB，过点O作AB的垂线交紫色圆于E、F两点，过E、F两点分别作OA的平行线，交单位圆于M、N和P、Q。如图所示，可知对应的平移距离即为AM和AP的较小值。下面分析这个较小值的最大值。

这里经过分析，可知只有当AP=AM时，平移距离取得最大值。当然，有经验的考生，可以直接假设AP=AM时取得最大值。如下图所示，在Rt△OGM中，可得OG=1/2，又OA=5/2；在Rt△AGM中，可得AM等于二分之根号39，此即平移距离的最大值.

与此对应的动态图，如下图所示，考生可以观看动态视频，加深对运动变化过程中数量关系和位置关系的理解和认识。

全屏观看，效果更佳

第五部分 总结与备考建议

1. 今年是取消《考试说明》的第一年，虽然没有考试说明，但是不影响我们对中考数学命题范围的把握和命题趋势的理解。

2. 任何一次大考，必然重视试题的基础性、综合性、创新性和前瞻性，必然重视数学学科的基础知识、基本技能、基本思想和基本的活动经验的考察，会结合学科的主干知识/核心概念/课本加粗黑体字进行命题，以试题为载体，考查学科素养，整套试卷是知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观的综合考察，并注重德智体美劳等诸多方面的洗脑熏陶。

3. 今年的试题难度不大，和2019年比起来，甚至和再往前的年份比起来，都不能算大，计算量不大/阅读量不大/思维容量不大。但是最后一题最后一问还是有一定难度的，想考满分，依然有挑战（考生是否留意过，本小问的分析思路，在我们以往的模拟试题中其实是有体现的呢？我也在春季课程和冲刺课程的例题中讲过好几次！）。希望2021届的考生，一定要重基础、抓主干、学通法；但是，今年是一个特殊的年份，因为疫情的影响，试题显得非常“人性化”，试图让考生考出成就感，大多数考生也一定能考出成就感——明年，大概率是不会这么简单的。

4. 本套试卷选填部分，难度过小了（北京高考选填一直都比较有特色，虽然难度不大，但是新颖灵活）。解答题中方差的那道题结合散点图进行考查，可以看做是高中考查形式的“下放”，不过对于统计部分，初高中现在有时候是“傻傻分不清”了。代数压轴题，突破了往年的那种“交点”、“整点”的套路；几何压轴题，回归到最传统、最核心的概念“中点”上来，话说中考备考课程总是用“中点”打响第一枪的嘛；新定义压轴题，最后一问的思考形式，虽然略有难度，但是在以往的模拟试题中也是可以寻找到“影子”的。

5. 对于考生来讲，理解通法和独立思考，是学习过程中一定要高度重视的两个方面。掌握通法，可以最大限度的规避题海战术带来的干扰和伤害；独立思考，才能花最少的时间取得最大的学习效果。可惜我们有很多考生，在追求分数的道路上，做了太多的“粗放式”的练习题，进行了太多的缺乏主动思考的、假勤奋式的无用功。真的希望2021届的考生，能够在理解通法和独立思考的基础上，追求思维的灵活性和创新性，接受即将到来的更高层次的挑战和学习，为北京高考做好长远的准备。

6. 今年的中考试题，更全面、更深入的解析，会结合2020~2021学年度各区统考、北京各所名校的统测进行进一步的分析和拓展，欢迎2021届的考生持续关注。

知识和能力、时间和精力都有限，错误之处在所难免，敬请批评指正。一家之言，仅供参考。

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内容简介

第六版——2021届考生专用

《北京中考数学压轴题解题方法突破》

本书是北京市第一本运用解题理论、采用“编年体”形式对中考数学压轴题的应试策略、分析方法和解题思路进行透彻解析的专业书籍.

对于中考解答题中的几何综合题、新定义类型综合题、代数综合题，以及操作与实践、推理与探究等以“生成性资源”为背景的解答题，选用最能反映命题趋势的经典试题，进行深入解析，注重解题经验的传授与解题能力的提升，帮助考生养成科学的数学思维习惯.同时以微专题的形式兼顾选择题和填空题中的压轴题.

本书可作为初中生中考冲刺用书，亦可作为命题专家、教研员、一线教师和教育界相关人士研究北京中考数学压轴题的参考书籍.

第六版

专供2021年中考考生使用

正在紧张的编写之中

敬请期待