鲁达 至少需要几个砝码
2018年7月28日星期六
这是一道趣题。题目如下：
“要用天平称出1克、2克、3克、……、40克这些不同的整数克质量，至少需要几个砝码？这些砝码的质量分别是多少？（称重时，砝码既可以放在天平的右盘，也可以放在天平的左盘）”
天平
答案：
至少需要4个砝码，分别是质量为1克、3克、9克、27克的砝码各1个。
说明：
2＝3－1，左盘放物品和1克的砝码，右盘放3克的砝码。
4＝3＋1
5＝9－3－1，左盘放物品和1克、3克的砝码，右盘放9克的砝码。
6＝9－3
7＝9＋1－3
8＝9－1
10＝9＋1
11＝9＋3－1
12＝9＋3
13＝9＋3＋1
14＝27－9－3－1，左盘放物品和1克、3克、9克的砝码，右盘放27克的砝码。
15＝27－9－3
16＝27＋1－9－3
17＝27－9－1
18＝27－9
19＝27＋1－9
20＝27＋3－9－1
21＝27＋3－9
22＝27＋3＋1－9，左盘放物品和9克的砝码，右盘放1克、3克、27克的砝码。
23＝27－3－1
24＝27－3
25＝27＋1－3
26＝27－1
28＝27＋1
29＝27＋3－1
30＝27＋3
31＝27＋3＋1
32＝27＋9－3－1
33＝27＋9－3
34＝27＋9＋1－3
35＝27＋9－1
36＝27＋9
37＝27＋9＋1
38＝27＋9＋3－1
39＝27＋9＋3
40＝27＋9＋3＋1
可见，左盘放物品和“减数”砝码，右盘放“加数”砝码。
分析：
这是为什么呢？
1克、3克、9克、27克取自数列：
砝码
这个数列有个特点：
测试一下：
但，这仍旧是为什么呢？
第①步：先选1克砝码。因为自然数序列是以1递增的，如果用3－2得到1（或者其他的两个连续自然数），则会使用2个砝码，显然不如直接使用1个1克砝码来得方便。
第②步：如何从2克、3克、4克……中做出第二次选择。
A.选2克：可称出1克、2克、1＋2＝3克；
B.选3克：可称出1克、3－1＝2克、3克、1＋3＝4克；
C.选4克：可称出1克、4－1＝3克、4克、1＋4＝5克；
……
显然：A可称重组合少，C不连续，故而选B。
第③步：转换思路。现有1克、3克砝码，最大可称1＋3＝4克，下一个连续质量是5克，因此第3个砝码可以放大到：4＋5＝9克，因为反过来可得：9－3－1＝5克。可以验证6～8克、10～14克的完备性。
第④步：现有1克、3克、9克砝码，最大可称1＋3＋9＝13克，下一个连续质量是14克，因此第4个砝码可以放大到：13＋14＝27克，因为反过来可得：27－9－3－1＝14克。可以验证15～26克、28～40克的完备性。
……
依次类推。
（重要程度★★★★）
问题似乎解决了……但是，上面给出的分析顶多算做“陈述性说明”，并非严谨的“逻辑证明”！我甚是遗憾，期待聪明的您给出高妙的招式，我翘首以盼。
值得一提的是：现实生活中人们使用天平的习惯是左盘放物品，右盘放砝码。或许是为了防止物品污损砝码（比如称重化学药品时），或许是因为只考虑加法比较方便。此时，最少砝码来自于以下序列：
如果为了更加方便，还可以参阅人民币面额，设计如下：
1mg、2 mg、5 mg、10 mg、20 mg、50 mg、100 mg、200 mg、500 mg、
1g、2 g、5 g、10 g、20 g、50 g、100 g、200 g、500 g、
1kg、2 kg、5 kg、10 kg、20 kg、50 kg、100 kg、200 kg、500 kg……
但这个序列的特点是：每个规格的砝码数不再唯一。比如称重9g，要么准备2个1g，要么准备2个2g。（重要程度★★★★）
聪明的您，动脑想想哦。