admin 作者|马丁加德纳
译者|史奇尔
《分形、取子游戏及彭罗斯铺陈》，摘自上海科学技术教育出版社。
从《科学美国人》开始，在刊登我关于Penros的部署的专栏文章(1977年1月)的10年后，Penros、Conwe、Aman和其他人在探索非周期性的展开过程中取得了巨大的飞跃。
[我在这里会继续使用“nonperiodic” 这个术语表示“非周期的”，尽管格林鲍姆( Branko Grunbaum)和谢泼德在他们的不朽巨著《铺陈和图案》( Tilings and Patterns)一书中更喜欢将一组只能非周期性铺陈的镶嵌片称为“ aperiodic”。]如今所称安曼条或安曼线以及三维空间中的类似彭罗斯铺陈的发现，引领了晶体学中令人惊叹的进展。不过，首先让我在以前从未发表过的这一章中，对这一突破性进展之前的某些发展做一番总结。安曼是一位才华卓越的年轻数学家，在马萨诸塞州从事一些低级别的计算机工作。他于1976年独立发现了彭罗斯的菱形镶嵌片，这大概在我关于彭罗斯铺陈的那个专栏刊出八个月前。我在通信中告知了他彭罗斯更早就发现了这两种菱形，还告诉他飞镖和风筝。安曼很快就意识到，这两对镶嵌片所构成的图案都是由向五个不同方向横跨平面的五族平行线决定的，而这五族平行线以360/5=72度的角度相交。图2.1中显示了这样的一族直线，人们现在把它们叫做安曼条。
图2.1 一族安曼条（从左至右）以一种SLLSLLS的顺序陈列
注意观察这些直线与飞镖上指向相同或相反方向的那些凹角相交。这一点并不完全精确，不过对于我们的目的而言，这种简单形式平行划出的直线也就足够了。这些直线的精确定位请参见格林鲍姆和谢泼德的那本书。当这些直线被精确排布好时，每根直线都在一个飞镖凹角的外侧一点点。在图案中的每个正十边形的内部，安曼条都组建出一个完美的五角星。
请注意安曼条之间的间距只有两种长度，我们会将它们称为L(“长”的英文 long 的字母)和S(“短”的英文 short 的首字母)。当这些直线被正确画出时，这两种长度就构成了黄金比例，此外，在无限大平面上，一族安曼条中L的数量和同一族中S的数量也构成黄金比例。沿着垂直于一族安曼条的任一方向移动，我们就能够用一系列L和S来记录下这些间距的序列。这个序列是非周期性的，并且构成了一种值得注意的彭罗斯铺陈的一维相似。局部同构定理在此适用。如果你选择这个序列中的任意有限部分，那么你总是能够发现它在不远处重复出现。从任何位置开始，写下任意有限长度这样的字母序列，比如说长度为十亿。如果你从这个序列中的任何其他位置开始，你必然会得到一个与此全同的、由十亿个字母构成的序列，只有当这个序列取为无限长时，它才是独一无二的。
康韦发现，这个序列可以用以下方法由黄金比例得到。以递增的顺序写下黄金比例(1+√5)/2的各正整数倍数，并向下取整。结果得到的数列开头为1，3，4，6，8，9，11，12，14，16，17，19，21，22，24，25，27，29，30，32，33，35，37，38，40，42，43，45，46，48，50，…。这是斯隆（N..A.Sloane）的《整数数列手册》（Handbook of Interger Sequences）中的数列917。如果你将黄金比例的平方的倍数向下取整，那么你得到的数列是2，5，7，10，13，15，18，20，23，…。这两个数列被称为“互补数列”。把它们放在一起，每个正整数都在其中出现一次，并且仅出现一次。任何实数a的相继的正整数倍，向下取整，所形成的一个数列被称为a的谱。如果a是无理数，那么这个数列就被称为贝亚蒂数列。它以加拿大数学家贝亚蒂(Samuel Beatty)的名字命名，他在1926年唤起了大家对此类数列的注意。正如我们在第八章中将会看到的，基于黄金比例的互补贝亚蒂数列，为一种名为威佐夫博奕的尼姆取子游戏著名变种，提供了制胜策略。
黄金贝亚蒂数列中的各相邻数之间不是相差1，就是相差2。写下各差值的第一行，然后将每个1都改写成0，而把每个2都改写成1。你得到的是一个无限二进制数列，其开头是1011010100…。这是任何一族无限的安曼条中S和L构成的序列的一部分。康韦用“音乐序列这个术语来表示黄金比例数列中任意有限的一段。遵循彭罗斯的说法，我将称它们为斐波纳契序列。
此类序列具有许多奇异的特性。例如，在上文的那个用二元表示法给出的斐波纳契序列的前面放置一个小数点。其结果是一个由下列连分数产生的无理二进位分数。
这个连分数中各个2的幂指数正是斐波纳契数。关于彭罗斯铺陈如何与斐波纳契数相联系，而后者又如何转而与植物的生长模式相联系，康韦有许多未公开发表的结果。
正如我们已经看到的那样，膨胀或者收缩彭罗斯铺陈都会产生另一种铺陈，从这种意义上来说，它们是自相似的。斐波纳契序列具有同样的自相似性。虽然有许多技巧能用于膨胀和收缩它们，从而产生出另一个这样的序列，不过其中最简单的一种如下。要进行收缩，就将每个S都用一个L来代替，每个LL都用一个S来代替，并丢掉所有单个的1。例如，按照这些规则LSLLSLSLLSLLSLS这个序列收缩为LSLLSLSLL。要进行膨胀，就将每个L都用S来代替，每个S都用LL来代替，然后再在每一对S之间加上一个L。
一个斐波纳契序列中不可能包含SS或者LLL。这就提供了一种简单的方法来辨别一个由S和L构成的序列是不是斐波纳契序列。不断应用那几条收缩规则，直至你要么得到一个含有SS或者LLL的序列(在这种情况下它就不是斐波纳契序列)，要么得到单独一个字母从而证明它是斐波纳契序列。如果你膨胀或者收缩一种彭罗斯铺陈，那么每一族安曼条中的序列也发生膨胀或者收缩。任何一条蠕虫中的长短领结序列也是一个斐波纳契序列，例如车轮图案的十根轮辐中的那些蠕虫。
两族安曼条以非周期性平行四边形镶满平面，这些平行四边形构成了一种栅格，镶嵌片恰好符合这种栅格。正如格林鲍姆和谢泼德的说法，不要将镶嵌片看成是在决定安曼条，而是“安曼条系统在起着一种基础的作用，而镶嵌片的唯一功能只是为它们提供一种实用的实现方法。”这些安曼条依稀有点像决定粒子位置和路径的量子场。安曼早在1977年就首先察觉到，他的线条构成的栅格导致了一些“强制定理”——这些定理判断的是一小组镶嵌片将如何强制其他无限多组镶嵌片有了确定的位置。
正如安曼在写给我的一封信中所表述的那样：“每当一组镶嵌片强制两条平行线占据了确定的位置时，它就会强制无限多条不相邻平行线也占据了确定的位置。每当三条直线以恰当的角度相交时，就强制一片镶嵌片占据了确定的位置。”一组有限的镶嵌片会强制任意长距离之外的镶嵌片位置得以确定，这种性质罗斯菱形和罗宾逊正方形也有，尽管它们与黄金比例并无任何联系。
康韦以安曼的这些发现为依据，接下去又确立了许多非凡的强制定理。在这里我只说两片适当排布、距离任意远的彭罗斯镶嵌片(每一片都可以是两种类型中的任一)就会确定两族无限多(不是完整的族)的安曼条。这两族安曼条的交叉点又转而确定了一组无限多的镶嵌片的位置。例如，国王、王后杰克、两点和星星都在它们的王国中强制出了一组无限多的镶嵌片(A尖和太阳不强制任何镶嵌片)。国王的王国异乎寻常地致密。你也许会认为，随着你距离中心越远，这种受到强制的镶嵌片的密度就会变得稀疏，然而事实并非如此。其密度对于整个平面都保持恒定不变。
图2.2 钝菱形六面体和锐菱形六面体的网格形状
译者注：这幅插图中标注的角度有误，安曼的两个菱形六面体的各表面内角约等于64度和116度，详见下文。
安曼的另一项伟大发现也是在1976年作出的，由两个菱形六面体(具有六个全等的菱形面的平行六面体)构成的组合采用一些适当的表面配对规则，它们就会强制产生一种非周期性的空间铺陈。图2.2中显示了这两种六面体构成的网格形状。如果你把这两种网格从硬纸板上剪下来，沿着各条直线折叠，并将其边缘用胶带黏合，那么你就会得到图2.2底端所显示的两种六面体。其中一种可以看成是一个立方体沿着一条空间对角线被压扁了，而另一种则可以看成是一个立方体沿着一条空间对角线被拉长了。其中所有十二个面都是全等的，它们的两条对角线成黄金比例。几何学家考克斯特(H. S. M. Coxeter）校订了鲍尔(W. W. Rouse Ball）的经典著作《趣味数学随笔》（Mathematical Recreations and Essays Dover，1987)一书的第十三版，在该书的第161页上，考克斯特添加了一条注解，他将这种类型的菱形六面体称为“黄金菱形六面体”。此类菱形六面体只有两种，开普勒都研究过，锐黄金菱形六面体两个相对的顶角处，三个全等的锐角在此相接。钝黄金菱形六面体两个相对的顶角处，三个全等的钝角在此相接。这两种立体形状上的其余顶角都是锐角和钝角混合相接。
安曼的两种菱形六面体就是这两种黄金类型。锐菱形六面体的各个表面沿着各棱边以72度和108度的角相接。钝菱形六面体的各个表面则以36度和144度相接(这四个二面角都是360/10=36度的倍数)。这些两面角都接近64度和116度。通过恰当排布各凹、凸部分，就排除了周期性铺陈。请注意这幅插图中未折叠的各个面上的黑点。想象每个六面体都有一个复制品，它们表面上这些黑点所构成的图案互为镜像。这就形成了由四个菱形六面体构成的组合，如果你把它们放在一起使每个黑点都靠着另一个黑点，它们就会强制产生非周期性。我们还不知道是否存在着一种方法可以不用这种镜像标记，从而只有两种六面体，采用恰当的标记，就会强制产生非周期性。如果一个平面以某个适当的角度穿过这种空间铺陈，那么这个平面会显示出一种非常接近于用两种彭罗斯菱形得出的铺陈。
我将安曼得到的这些结果寄送给了彭罗斯。在一封标注日期为1976年5月4日的信中，彭罗斯请我代为转达他对安曼的两点祝贺：祝贺他独立发现了这些菱形镶嵌片，以及祝贺他用两种黄金菱形六面体实现了空间铺陈他继续写道：
这些事很有可能在生物学上具有某种重要性。你会记得某些病毒呈正十二面体和正二十面体，它们如何做到这一点的，似乎总是令人迷惑不解。不过假如以安曼的非周期性六面体为基本单位，那么我们就会得到一些准周期性“晶体”，其中就包含此类看似不可能存在的、沿着十二面体或者二十面体各平面的(晶体学上的)解理方向。病毒是否有可能会以某种类似这样的包含非周期性基本单位的方式生长——还是说这种想法太异想天开了?
在安曼发现他的非周期性空间铺陈一年之后，日本神户大学的一位建筑师宫崎康次(Koji Miyazaki)再次发现了它。他还发现了这两种黄金菱形六面体非周期性铺陈空间的另一种方式，尽管这种铺陈方式不是强迫性的五个锐黄金菱形六面体和五个钝黄金菱形六面体会相互契合，形成一个菱形三十面体。以一个共同钝顶点相接的这样两个菱形三十面体，周围可以环绕60个额外的黄金菱形六面体(每种类型各30个)，从而构成一个更大的菱形三十面体。这种扩大过程可以持续至无穷，以一种具有一个二十面体对称中心的蜂窝状结构铺陈空间。
罗斯关于晶体的猜想，甚至是他所用的术语，都被证明具有令人惊讶的预见性。1980年代初期，许多科学家和数学家开始谨慎地思考这样一种可能性：晶体的原子结构也许是基于一种非周期性晶格。随后在1984年，美国国家标准局谢赫特曼及其同僚们惊人地宣布：他们在快速冷却铝锰合金的电子显微图像中发现了一种非周期性结构，这种合金很快就被一些化学家戏称为“谢赫特曼体”。这些显微图像显示出一种清晰的五重对称性，而这强烈暗示存在着一种类似于彭罗斯铺陈的非周期性空间铺陈。
这是前所未见的。这就像是科学作家彼得森(Ivars Peterson)所说的，好似有人观察到了一片五边形的雪花。此前在晶体学中长期以来一直存在的一条信条，晶体仅可能呈现出2、3、4、6次旋转的旋转对称性，但是绝不会出现5、7、8次。还有另一条信条是，固体物质只具有两种形式：要么其原子呈现出一种周期性排列，要么是像玻璃这样的无定型材料中的无序原子。
当时人们知道，一切晶体中的有序晶格都来自三种柏拉图正多面体：正四面体、立方体和正八面体。十二面体和二十面体被排除在外，这是因为它们的五重对称性致使周期性铺陈不可能实现。然而有一种物质似乎展示出二十面体对称。如同彭罗斯铺陈一样，当这种物质旋转72度，或者1/5个圆时，就整体的统计方式而言，它本质上保持不变，不过却不具有长程周期性。这看起来似乎是介于玻璃和普通晶体之间的一种物质形式，这暗示了在这两种形式之间不存在一条壁垒分明的界限，而可能是一种介于两种结构之间的连续体。
在物理学家、化学家和晶体学家之中，这一发现所产生的效应是爆炸性的。类似的非周期性结构很快就被引入到其他合金中，数十篇论文开始出现固体物质很明显可以呈现出具有任何旋转对称性的非周期性晶格。人们提出各种各样镶嵌片组合的立体铺陈来作为模型，这些组合由两片或更多镶嵌片构成，其中有些强制产生非周期性，有些则仅仅允许产生非周期性。有人用多层二维彭罗斯铺陈薄片，制造出了一种晶体结构。荷兰的德布鲁因发展了一种非周期性铺陈的代数理论，其基础是他所谓的“五边栅格”，类似于安曼条。在1987年的一篇论文中，他报告了非周期性铺陈理论和一种洗牌定理之间的意外联系，这一定理被纸牌魔术师们称为“吉尔布雷斯原理”(关于这条原理，请参见我的《剪纸、棋盘游戏及堆积球》(New Mathematical Diversions from Scientific American)一书第九章)。
如今在“准晶体”(即这种新的中间过渡晶体的名称)领域，实验和理论研究两个方面，都在不断前进、蓬勃发展。对于它们的晶格是真正非周期性的这种观点，也存在着反对意见。为首的反对者是鲍林，他争论说，这些显微图像应该被解释成是一种被晶体学家们称为“多重孪晶”的虚假五重对称性构造。鲍林1985年在《自然》(Nature)杂志上的一篇报告中总结道：“晶体学家们现在可以不用再担心他们的那门科学中广为接受的基础之一的正确性受到质疑了。”另一种可能性是，准晶体只不过是一种周期性模式中的一些极大的单位细胞，当更大的样本被制作出来时，就会发现这种周期性模式此外还存在着其他的一些可能性。准晶体的支持者们坚持认为，显微图像的所有这些可供选择的解释都已被排除了，而真正的非周期性才是最简单的解释。也许几年以后，实验研究会证明这并不成立，而准晶体也许会重蹈聚合水的覆辙，不过假如非周期性的解释成立的话，那么它就会成为晶体学中一个具有轰动效应的转折点。
假设准晶体是真实的，那么接下去的几年中，我们应该会看到有越来越多的有效技术来制造它们。许多问题都迫切需要答案。在这些奇怪的晶体形成过程中，涉及哪些物理力？彭罗斯提出，或许非局域性量子场效应发挥着一定的作用，因为假如没有一个总体规划的话，我们很难理解这样一种晶体怎么会以这样一种方式以保持其长程非周期性的模式生长(在前文引用的彭罗斯1976年所写的信中那一段，关于病毒的那些推测反映出他的关切：准晶体怎么能够在没有非局域性力引导的情况下生长?)准晶体具有怎样的弹性性质和电子特性?地质学家们会有朝一日发现大自然制造出来的准晶体吗?
如果准晶体就是其捍卫者们所认为的那种东西，那么它们就提供了一个突出的实例，说明纯粹为了消遣和美学上的满足，在趣味数学中做出的工作，如何能够对物理世界和技术产生具有重要意义的实际应用。
1980年，我在贝尔实验室聆听了康韦所作的关于彭罗斯铺陈的演讲。在讨论“洞理论”时，他说他喜欢想象一个巨大的寺院，地板用彭罗斯铺陈镶嵌而成，一根圆柱则恰好竖在中央。这些镶嵌片看起来似乎进入了这根柱子的底部。实际上，这根柱子盖住了一个无法镶嵌的洞。顺便提一下，在这样的图案上，安曼条在通过这个洞时不再是连贯的直线了。
当然，一种彭罗斯铺陈总是可以用四种颜色来着色，从而使得任何两片颜色相同的镶嵌片都不会有共同的边界。它总是可以用三种颜色来着色吗?康韦说，从局部同构定理出发可以证明：如果有任何一种彭罗斯铺陈可以用三种颜色来着色，那么所有彭罗斯铺陈就都可以，不过到目前为止还没有人证明任何一种彭罗斯铺陈可以用三种颜色来着色。
图2.3 巴洛证明没有任何一种图案可能具有两个五重对称中心
康韦给出了以下这种简单的归谬法证明（将这种证明归功于英国数学家巴洛，这位数学家于1862年去世，如今他最为人们所知的是他的那些数学用表书籍)：任何铺陈图案都不可能具有一个以上的五重对称中心。假设它具有一个以上五重对称中心。选择其中相互最靠近的两个：A和B(见图2.3)。将这个图案绕着B点顺时针旋转360/5=72度，从而将A点如图所示转到A'。恢复到初始位置，然后将这个图案绕着A点逆时针旋转72度，从而将B点转到B'。得到的结果是：(如果我们的假设正确的话)这两次旋转都会使这个图案保持不变，不过现在它有了两个新的五重对称中心A'和B'，而A'B'比AB要短。这与我们的第二个假设(A和B是最靠近的两个对称中心)发生了矛盾。
图2.4 没有任何方式进行铺陈的康韦镶嵌片
有一些单独的镶嵌片(以及镶嵌片组)仅以一种方式周期性地铺陈平面：例如正六边形和十字形拼板。所有三角形和所有平行四边形都有不可数的无数种铺陈方式。格林鲍姆和谢泼德推测：不存在具有可数的无数种周期性铺陈方式的镶嵌片。他们还推测：给定任何正整数r，就存在着一些恰好以r种方式铺陈平面的单独镶嵌片。对于r=1至10，都已经找到了这样的镶嵌片。康韦在演讲中展示了r=0的情况下他所谓的“康韦镶嵌片”(图2.4)。他在结束时说道，在这次演讲中，是他第一次没有漫不经心地把“飞镖和风筝”说成“风镖和飞筝”。