您的位置 首页 > 天生丽质

【arctanx的导数是什么】浅谈学习高数的导数有关内容

导数是高等数学中非常重要的知识,通过导数的几何意义可以求出函数的切线或法线方程,通过导数可以求出函数的极限,通过导数可以判断函数的单调,通过导数扩展的微积分可以找到函数的面积、体积、长度的内容,因此掌握导数和求函数的导数是高等数学的重要和基本知识。

· 基本函数的导数:

所谓基本函数,也就是通常所说的初等函数,例如常数函数y=c,一次函数y=kx+b,二次函数y=ax^2+bx+c,幂函数y=x^a,指数函数y=a^x,对数函数y=loga x,自然对数函数y=lnx,三角函数,反三角函数等,这些函数的导数是需要记住的。具体公式如下:

y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x

y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x

y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/√1-x^2 y=arccosx y'=-1/√1-x^2

y=arctanx y'=1/1+x^2 y=arccotx y'=-1/1+x^2


· 导数的运算法则:

导数的运算法则,就是指导数的加、减、乘、除的四则运算法则,这也是需要掌握的重要内容,公式如下:

①(u±v)=u'v±vu'

②uv=u'v+uv'

③u/v=(u'v-uv')/v^2

这里边的u.v一般是代表的两个不同的函数,不会同时为常数。这三个运算法则中,特别要记住的是两个函数商的导数求法,分子中出现的是减号,这个地方容易出错。对于上面提到的二次函数,符合函数和差的运算法则,所以y'=(ax^2)'+(bx)'+c'=2ax+b+0=2ax+b.


· 初等函数四则运算的求导:

初等函数的四则运算,就是上述提到基本函数,其求导,通常要用到上述求导的运算法则,它可以单独使用其中的一个运算法则,也可以是多个运算法则同时使用,下面举几个例子。

(1)y=sinx+5x-cosx,这个是函数的和差运算,求导法则仅使用①,所以:

y'=(sinx)'+(5x)'-(cosx)'=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5.

(2)y=(5sinx)*(3cosx),这个是函数的乘积运算,求导法则仅使用②,所以:

y'=(5sinx)'(3cosx)+(5sinx)(3cosx)'

=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)

=15(cos^2x-sin^2x)

=15cos2x.

(3)y=sinx/cosx,这个是函数的商的运算,求导法则仅使用③,所以:

y'=[(sinx)'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2

=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2

=1/(cosx)^2

=sec^2x,实际上y=sinx/cosx=tanx,其导数是通过这个法则求出来的。

(4)y=(sinx-5x+x^2cosx)/x,这个函数的求导,上述三个运算法则都要使用到,所以:

y'=[(sinx-5x+x^2cosx)'x-(sinx-5x+x^2cosx)x']/x^2

={[(sinx)'-(5x)'+(x^2cosx)']x-(sinx-5x+x^2cosx)}/x^2

={[cosx-5+(x^2)'cosx+(x^2)(cosx)']x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2

={[cosx-5+2xcosx-x^2sinx]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2

=(xcosx-5x+2x^2cosx-x^3sinx-sinx+5x-x^2cosx)/x^2

=(xcosx+x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2.


· 复合函数的求导法则:

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)即y=f(g(x))的导数间的关系为

y' =f'(g(x))*g'(x)即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.举例如下:

(1)y=(2x+1)^5,

y'=5(2x+1)^4*(2x+1)'=5(2x+1)^4*2=10(2x+1)^4.

(2) y=sin(x^2+2x).

y'=cos(x^2+2x)*(x^2+2x)'=cos(x^2+2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x^2+2x).

(3)y=(3x)^x,因为它既不是指数函数,也不是幂函数,所以求导之前要变型,得到:

lny=xln3x,两边求导得到:

y'/y=ln3x+x(ln3x)'

y'/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1

所以y'=(3x)^x(1+ln3x).


· 积分函数的求导:

对有积分上下限函数的求导有以下公式:

[∫(a,c)f(x)dx]'=0,a,c为常数。解释:对于积分上下限为常数的积分函数,其导数=0.

[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x),a为常数,g(x)为积分上限函数,解释:积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。

[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a为常数,g(x)为积分上限函数,p(x)为积分下限函数。解释:积分上下限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。

举例子:

(1)[∫(x^2,1)(2x+5)dx]'

=(2x^2+5)*(x^2)'

=(2x^2+5)*2x

=4x^3+10x

(2)[∫(2x^2-1.x)sinxdx]'

=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'

=4xsin(2x^2-1)-sinx.


· 导数的应用之一:判断函数的单调性:

通过对函数进行求导,得到函数的驻点,再研究导数的正负,得到原函数的单调增区间或者减区间。即使导数>0的自变量取值的区间是其单调增区间,使其导数<0的自变量取值区间是其单调减区间。例如:

求函数:y=2x^2-4x+3的单调区间。

分析:对于这个函数,因为是二次函数,即为抛物线,我们知道,其开口向上,对称轴x=1,所以当x>1,函数单调递增,则x<1单调递减。

此题还可以通过导数来求,通过函数和差公式,求导得到:

解:y’=4x-4.

另y’=0,所以4x=4,即x=1.

当x>1的时候,y’>0,此时函数单调递增,则区间(1,+∞)为函数的单调增区间。同理:

当x<1的时候,y’<0,此时函数单调递减,则区间(-∞,1)为函数的单调递减区间。


· 导数的应用之二:求函数的极限:

通过导数,在符合罗必塔法则的前提下,可以求出函数的极限,注意的是,同一道题目,只要符合罗必塔的法则,是可以多次使用的。其公式如下:

举例如下:

求lim(x→1)(x^3-3x+2)/(x^3-x^2-x+1)的极限。

解:当x→0,分子分母都趋近于0,符合罗必塔0/0法则,所以求积分就是分子分母分别求导(注意不是函数商的求导法则),得到:

原极限=Lim(x→1)(3x^2-3)/(3x^2-2x-1),此时分子分母继续符合0/0型,继续使用罗必塔法则:

极限=lim(x→1)(6x)/(6x-2) 此时不再符合罗比达法则,直接带入极限条件,得到:

极限=6/4=3/2.


· 导数的物理意义:

在物理中,物理量位移为s,速度为v,时间为t,加速度为a,则之间存在如下关系:位移s对时间t的导数为速度,即:v=ds/dt.

速度v对时间t的导数,为加速度,即:a=dv/dt.也可以理解为s对时间的二次导数就是加速度,即:a=d^2s/dt^2.

关于作者: admin

无忧经验小编鲁达,内容侵删请Email至wohenlihai#qq.com(#改为@)

热门推荐