admin 导数是高等数学中非常重要的知识，通过导数的几何意义可以求出函数的切线或法线方程，通过导数可以求出函数的极限，通过导数可以判断函数的单调，通过导数扩展的微积分可以找到函数的面积、体积、长度的内容，因此掌握导数和求函数的导数是高等数学的重要和基本知识。
· 基本函数的导数：
所谓基本函数，也就是通常所说的初等函数，例如常数函数y=c，一次函数y=kx+b，二次函数y=ax^2+bx+c,幂函数y=x^a,指数函数y=a^x,对数函数y=loga x，自然对数函数y=lnx，三角函数，反三角函数等，这些函数的导数是需要记住的。具体公式如下：
y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x
y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/√1-x^2 y=arccosx y'=-1/√1-x^2
y=arctanx y'=1/1+x^2 y=arccotx y'=-1/1+x^2
· 导数的运算法则：
导数的运算法则，就是指导数的加、减、乘、除的四则运算法则，这也是需要掌握的重要内容，公式如下：
①（u±v)=u'v±vu'
②uv=u'v+uv'
③u/v=(u'v-uv')/v^2
这里边的u.v一般是代表的两个不同的函数，不会同时为常数。这三个运算法则中，特别要记住的是两个函数商的导数求法，分子中出现的是减号，这个地方容易出错。对于上面提到的二次函数，符合函数和差的运算法则，所以y'=(ax^2)'+(bx)'+c'=2ax+b+0=2ax+b.
· 初等函数四则运算的求导：
初等函数的四则运算，就是上述提到基本函数，其求导，通常要用到上述求导的运算法则，它可以单独使用其中的一个运算法则，也可以是多个运算法则同时使用，下面举几个例子。
（1）y=sinx+5x-cosx,这个是函数的和差运算，求导法则仅使用①，所以：
y'=(sinx)'+(5x)'-(cosx)'=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5.
(2)y=(5sinx)*(3cosx),这个是函数的乘积运算，求导法则仅使用②，所以：
y'=(5sinx)'(3cosx)+(5sinx)(3cosx)'
=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)
=15(cos^2x-sin^2x)
=15cos2x.
(3)y=sinx/cosx,这个是函数的商的运算，求导法则仅使用③，所以：
y'=[（sinx)'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2
=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2
=1/(cosx)^2
=sec^2x,实际上y=sinx/cosx=tanx，其导数是通过这个法则求出来的。
（4）y=（sinx-5x+x^2cosx)/x,这个函数的求导，上述三个运算法则都要使用到，所以：
y'=[(sinx-5x+x^2cosx)'x-(sinx-5x+x^2cosx)x']/x^2
={[(sinx)'-(5x)'+(x^2cosx)']x-(sinx-5x+x^2cosx)}/x^2
={[cosx-5+(x^2)'cosx+(x^2)(cosx)']x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
={[cosx-5+2xcosx-x^2sinx]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
=(xcosx-5x+2x^2cosx-x^3sinx-sinx+5x-x^2cosx)/x^2
=(xcosx+x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2.
· 复合函数的求导法则：
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为
y' =f'（g（x））*g'（x）即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.举例如下：
（1）y=(2x+1)^5,
y'=5(2x+1)^4*(2x+1)'=5(2x+1)^4*2=10(2x+1)^4.
(2) y=sin(x^2+2x).
y'=cos(x^2+2x)*(x^2+2x)'=cos(x^2+2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x^2+2x).
(3)y=(3x)^x,因为它既不是指数函数，也不是幂函数，所以求导之前要变型，得到：
lny=xln3x,两边求导得到：
y'/y=ln3x+x(ln3x)'
y'/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1
所以y'=(3x)^x(1+ln3x).
· 积分函数的求导：
对有积分上下限函数的求导有以下公式:
[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c为常数。解释：对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0.
[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x),a为常数，g(x)为积分上限函数，解释：积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。
[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a为常数，g(x)为积分上限函数，p(x)为积分下限函数。解释：积分上下限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。
举例子：
(1)[∫(x^2,1)(2x+5)dx]'
=(2x^2+5)*(x^2)'
=(2x^2+5)*2x
=4x^3+10x
(2)[∫(2x^2-1.x)sinxdx]'
=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'
=4xsin(2x^2-1)-sinx.
· 导数的应用之一：判断函数的单调性：
通过对函数进行求导，得到函数的驻点，再研究导数的正负，得到原函数的单调增区间或者减区间。即使导数＞0的自变量取值的区间是其单调增区间，使其导数＜0的自变量取值区间是其单调减区间。例如：
求函数：y=2x^2-4x+3的单调区间。
分析：对于这个函数，因为是二次函数，即为抛物线，我们知道，其开口向上，对称轴x=1，所以当x＞1，函数单调递增，则x＜1单调递减。
此题还可以通过导数来求，通过函数和差公式，求导得到：
解：y’=4x-4.
另y’=0,所以4x=4，即x=1.
当x＞1的时候，y’＞0，此时函数单调递增，则区间（1，+∞）为函数的单调增区间。同理：
当x＜1的时候，y’＜0，此时函数单调递减，则区间(-∞，1)为函数的单调递减区间。
· 导数的应用之二：求函数的极限：
通过导数，在符合罗必塔法则的前提下，可以求出函数的极限,注意的是，同一道题目，只要符合罗必塔的法则，是可以多次使用的。其公式如下：
举例如下：
求lim(x→1)（x^3-3x+2）/(x^3-x^2-x+1)的极限。
解：当x→0，分子分母都趋近于0，符合罗必塔0/0法则，所以求积分就是分子分母分别求导（注意不是函数商的求导法则），得到：
原极限=Lim（x→1）（3x^2-3）/(3x^2-2x-1)，此时分子分母继续符合0/0型，继续使用罗必塔法则：
极限=lim（x→1）（6x）/(6x-2) 此时不再符合罗比达法则，直接带入极限条件，得到：
极限=6/4=3/2.
· 导数的物理意义：
在物理中，物理量位移为s，速度为v，时间为t，加速度为a，则之间存在如下关系：位移s对时间t的导数为速度，即：v=ds/dt.
速度v对时间t的导数，为加速度，即：a=dv/dt.也可以理解为s对时间的二次导数就是加速度，即：a=d^2s/dt^2.