admin 考试点集的概念和运算
梳理知识
1.集和元素
(1)集合要素的三个特征：确定性、理性和无序性。
(2)元素与集合的关系属于或不属于关系，用符号表示或标记。
(3)集合的表示：枚举法、描述法、笔图法。
(4)通用数字集标记法
集合
自然收集
正整数集
整数集
玻璃收集
实数集
符号
n
N(或N*)
z
q
r
(5)集合的分类
如果按元素数量分类，可以分为有限集、无限集、空集。如果按元素的属性分类，则可以分为点集、数字集等。空集是一个特殊而重要的集合，如果集不包含元素，则称为空集，空集用“”符号表示。空集是所有集的子集，是非空集的实际子集。解决问题时，不要忽略空集的情况
2.集合之间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
本排行榜
子集
集合a的所有元素都在集合b中(即，如果xa，则xb)
AB
(或ba)
陈集
集a是集b的子集，集b中至少有一个元素不在集a中
AB
(或ba)
集合相同
集合A、B的元素完全相同，或者集合A、B是彼此的子集。
A=b
子集与实际子集的差异和链接：一个集的实际子集必须是子集，子集不一定是实际子集。
3.全集和全集
(1)如果一个集合包含了我们要研究的每个集合的所有元素，那么这样的集合就称为全集，全集一般用字母U表示。
(2)对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的子集，以UA(即UA={ X | XU，XA})的形式记录。
4.集合运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
ab={ x | xa或xb }
ab={ x | xa和xb }
ua={ x | xu和xa}
5.关于集合关系和运算的一般结论
(1)子集数公式：如果有限集合a有n个元素，则a的子集数为2n，非空子集数为2n-1，实际子集为2n-1。
(2)ab=aab，ab=Bab。
(3)(ua)(ub)=u(ab)，(ua)(ub)=u(ab)。
先例分析
问题集的基本概念
例1如果集a={0，1，2}已知，则集b={ x-y | xa，ya }中的元素数为
答案5
解决清单
根据集合中元素的相互理性，B的元素有0、-1、-2、1、2、共5个。
变形训练已知集合a={0，1，2}，b={(x，y)| xa，ya，x-ya }，集合b中存在_ _
回答6
由x-ya、xy引起的分析。
X=0时，y=0；
当X=1时，y=0或y=1；
当X=2时，y=0，1，2。
因此，集合b={(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，
集合b有六个元素。
解题要点研究集合问题，通常从代表元素开始，不知道它代表的是数字还是点，代表元素是数x就是数比特，代表元素是数对(x，y)就是点集。在列举集合元素时使用表格或根据元素特征列举时，在列举时不要错过。
示例2 a，br，集合{1，a b，a}=，b-a=_ _ _ _ _。
回答2
因为分析可以从{1，A B，A}=和A在分母位置知道a0。
因此，如果a b=0，则=-1，
所以a=-1，b=1。所以b-a=2。
变体培训称为集a={m 2，2 m2 m}，如果为3a，则m的值为_ _ _ _ _ _。
答案是-
语法分析3a导致m 2=3或2 m2 m=3。
如果M 2=3，即m=1，则2 m2 m=3，
这时，集合A有迭代元素3，因此M=1与主题不匹配。下车。
当2m2 m=3时，理解m=-或m=1(放弃)。
此时，当m=-时，m 2= 3与主题一致。
所以m=-。
解决问题的要点是要对带有字母参数的集合进行准确的分类讨论，要列出方程或方程式，求出字母参数的值。特别是在求出字母参数值后，要检查集合中的元素是否违背了相互理性。
问题类型2集之间的基本关系
示例3集合a={-1，0，1}，a的子集共有个包含元素0的子集
回答4
根据问题的含义，在集合A的子集中，
包含元素0的子集为{0}、{0，1}、{0，1}、{-1，0，1}，共4个。
变形训练设置m是一组非空数字，m {1，2，3}，m至少有
有一个奇数元素，则这样的集合M共有 个答案 6
解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．
解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合．
例4 设，若，则a的取值范围是 ．
答案
解析 根据题意作图：
由图可知，，则只要即可，即的取值范围是．
变式训练 已知集合，则a的取值范围是 ．
答案
解析 ，∵，根据题意作图：
由图可知，只要即可，即的取值范围.
解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到.
题型三 集合的基本运算
例5 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案 5
解析 A∪B＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.
变式训练 已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于________．
答案 {－1,0,1,2}
解析 A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，B为整数集，A∩B＝{－1,0,1,2}.
解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．
例6 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B) ＝________．
答案 {x|0<x<1}
解析 ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
在数轴上表示如图．
∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．
变式训练 已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则A∪B＝________．
答案 R
解析 ∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.
∴集合A与B可用数轴表示为：
由图象可以看出A∪B＝R．
解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．
当堂练习
1. 已知集合,集合,,则________．
答案 {4}
解析 因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以U(A∪B)＝{4}．
2．若集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于________．
答案 {0，1}
解析 由集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}．
3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______
答案
4．已知集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x、y∈Z}，用列举法可以表示集合A为________．
答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}
解析 集合A表示不等式组确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．
5．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝ ．
答案 {1，2}
解析 由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，
解得1≤x≤2，故N＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1,2}．
课后作业
1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B等于________．
答案 (2,3)
解析 ∵A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}＝{x|1＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3)．
2．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝________．
答案 {－2,0,2}
解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，
故M∪N＝{－2,0,2}．
3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>4}，则M∪N等于________．
答案 {x|x<－5或x>－3}
解析 在数轴上表示集合M和N，如图所示，
则数轴上方所有“线”下面的部分就是M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
4．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=________．
答案 4
解析 a＝0时，ax2+ax+1=0无解，此时，A=，不合题意；
a≠0时，由题意得方程ax2＋ax＋1＝0有两个相等实根，则，解得a＝4.
5．已知全集，集合，，则= ________．
答案 {0,2,4}
解析 ∵＝{0,4}，＝{0, 2,4}.
6．已知集合,,则________．
答案 {1,4}
解析 ∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16.
∴B＝{1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}．
7．满足条件{0,2}∪M＝{0,1,2}的所有集合M的个数为________．
答案 4
解析 由题可知集合M中必有1，满足条件的M可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个．
8．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________．
答案 0或3
解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A，∵A＝{1,3，}，B＝{1，m}，
∴m∈A，故m＝或m＝3，解得m＝0或m＝3或m＝1，又根据集合元素的互异性m≠1，所以m＝0或m＝3.
9．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)等于________．
答案 {1}
解析 ∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}.
10．已知A＝{3,5,6,8}且集合B满足A∩B＝{5,8}，A∪B＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B有________个．
答案 4
解析 ∵A∩B＝{5,8}，∴5,8∈B，又∵A∪B＝{2,3,4,5,6,7,8}而A＝{3,5,6,8}，
∴2,4,7∈B，∴3,6可以属于B，也可不属于B． ∴这样的B有22＝4(个)．
11．若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B等于 ．
答案 {x|－3<x<2}
解析 由题意，得A∩B＝{x|－5<x<2}∩{x|－3<x<3}＝{x|－3<x<2}．
12．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为
答案 2
解析 A＝{…，5,8,11,14,17…}，B＝{6,8,10,12,14}，集合A∩B中有两个元素．
13． 已知A＝{x|2a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R， 则a的取值范围是________．
答案 －3≤a<－
解析 ∵B＝{x|x<－1或x>5}，A∪B＝R， ∴ 解得－3≤a<－.