【复变函数与积分变换】数学书籍推荐—余下的那些篇

六、“概率论”

概率学的兴起最初来自于对赌博等多种机会性游戏的研究。

概率学里面的问题类型十分丰富，有几何概率、数论概率、代数概率、和统计概率，许多问题都很耐人寻味，众多经典的问题当中有一个就是所谓“点的问题”(也就是分赌本的问题)，这个问题最初的提出者是德·梅勒。他当初问帕斯卡，后者写信把这个问题告诉了费马。而二者都独自用不同的方法解决了这个问题。这个问题的解决标志着概率学的开端。实际上，所有概率问题从本质上可以分为两类：一类所谓的“正概率”问题；另一类就是“逆概率”问题。

随着概率学的公理化和发展，问题越来越丰富和深入，统计学和随机过程逐渐与概率密不可分地结合起来。

【教材】

81《概率论引论》汪仁官

82《概率论基础》李贤平

非常好的教材，基本不需要实变基础就可读。

83《概率论与数理统计》陈希孺编著

84《概率与统计》陈家鼎, 郑忠国编著

极力推荐本书和[83]。

85《概率论与数理统计》盛骤，谢式千，潘承义编

浙大版的精品教材。现在一般用第三版，但我们老师说，大家都认为第二版总体上来说最好。

86《概率论》杨振明编

87《概率论教程》钟开莱著

网上都传这本教材不错，没看过，不过应该很好。

【习题集】

至于习题集，不用做太多，书上的习题很好，课后题就行了。

【提高】

88《测度论与概率论基础》程士宏编著

适合初学者。看到“测度”一词，顺便说一下：其实很多概率问题的结果很大程度上依赖于测度（如果没有这个，很多问题没合理答案）。

89《概率论基础》严土健, 王隽骧, 刘秀芳著

比较综合。

90《现代概率论基础》汪嘉冈编著

用测度理论写的概率论。

91《分析概率论》拉普拉斯著

经典概率巨著。说到这里，想起了中国清代翻译外国的概率著作《决疑数学》（伽罗威著），也可以看看，最好找英文本（或者白话本，如果有的话）。

92《概率论及其应用》威廉·费勒著

经典概率学教材。

93《概率， 随机变量， 与随机过程》 帕普里斯著

前面是针对赌博概率问题的研究，后面就进入很深奥的理论了。

94《概率论与数理统计讲义·提高篇》姚孟臣编著

主要作为辅导书。

95《概率论思维论》张德然著

可作为很好的辅导书。

96《概率论思想方法的历史研究》朱春浩编著

97《概率论的思想与方法》运怀立著

以上三本都是一些思想和方法的研究，看看很有启发。

补充：《逻辑代数》沈小丰, 喻兰, 沈钰编著

用二值逻辑的定理和公式，进行逻辑运算。方便概率计算。这个在数字电路中也很有用。

七、“常微分方程”

数学专业的一门课，非数学专业在高等数学里面略微学了一点（非数学专业的在今后工作基本上够用了）。

我把方程分为两大类：函数方程（这个“数”不止是实数，还可以是复数、矩阵、甚至张量、四元数等等）、逻辑方程（即非传统的数类方程）。而函数方程有可细分为代数方程、超越方程、矩阵方程、微分（积分）方程、泛函微分方程、含差分的微分方程、通常的函数方程（包括迭代在内）等。我们都知道代数方程中五次或者以上的没有一般形式的公式解，超越方程基本只能数值求解，矩阵方程的情况和“数”的方程差不多，而通常的函数方程除了一些技巧以外，大部分只能用级数法求解。最后的微分（积分）方程也不是很乐观，并不是都有可积的解（而且绝大多数都是不可解的）。

对于微分方程中的常微分方程，本课主要研究的是一些常见可积类型的求解法、解的定性法、数值求解、级数求解、数学变换求解、微分方程在几何以及物理问题中的应用等。

【教材】

国内的：

98《常微分方程教程》丁同仁、李承治

国内常微分方程教材之中比较优秀的一本。内容翔实。

99《常微分方程》王高雄等

使用得很广泛，可做课本。

100《微分方程的理论及其解法》钱伟长著

内容非常丰富，书本比较厚。只是年代比较早，但这些经典内容不会过时。

国外的：

101《常微分方程》庞特里亚金著

前苏联经典教材，作者是位数学奇才，因一次化学实验事故导致双目失明，不得已转学数学，终成一代数学大师。

102《常微分方程》Arnol'd（阿尔诺德）著

不可不读的书。

103《常微分方程讲义》彼得罗夫斯基著

在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼。

104《Theory of Ordinary Differnetial Equations》Coddington & Levinson

这本书自五十年代出版以来就一直被奉为欧美教材经典，内容丰富。

【习题集】

105《高等数学例题与习题集.四,常微分方程》博亚尔丘克，戈洛瓦奇编著

看过之后非常赞叹。例题非常多，并且技巧也丰富。俄罗斯的经典习题集。

【辅导书】

106《常微分方程学习辅导与习题解答》朱思铭编

107《常微分方程内容、方法与技巧》孙清华, 李金兰, 孙昊著

认真熟读完[105]和以上两本，可以说你的“常微分方程”课学得很扎实了。

【提高】

108《常微分方程续论:常微分方程的几何方法》阿诺尔德著

非常深奥，作为长长见识翻看。

109《微分方程,线性代数和动力系统》Hirsh & Smale

表述比较“现代”，但不像苏联的一些“难书”那么难懂，毕竟是西方教材，注重理解。

110《常微分方程手册》卡姆克(Kamke)编

方程类型收录得很多，遇到难题可以查查。作者还著有《一阶偏微分方程手册》、《勒贝格-斯蒂尔吉斯积分》。

111《Handbook of exact solutions for ODEs》(《常微分方程精确解手册》英文版) Polyanin,Zaitsev编著

收录有几千个方程，类型十分丰富。

112《常微分方程补充教程》尤秉礼编

就冲“补充”二字，必须看一看。

113《常微分方程专题研究》汤光宋著

里面都是作者的研究结果，大部分是一些推广的结论和技巧。看后多少会有收获的。

八、“偏微分方程”

还是数学专业的一门课。常微分方程式研究一元情形，那么偏微则是多元了。别看这个简单的拓展，这个比一元的情况要难上数倍甚至数十倍（这么说也不为过），多少数学家在这个领域苦苦探索，却得不到他们想要的结果。因为实际生活中遇到的复杂问题都是偏微情况，而偏微分方程的难度正好说明了现实的复杂性，于是大家便从牛顿时代的人们的那种认为整个宇宙模型中的事件全蕴含在一些可解（因此可以预测到未来）的方程中的“理想梦境”中醒悟过来。

虽然不简单，但是数学家们还是有成果的，毕竟还有“级数”和“渐进”两个有力的工具。本课同常微分方程差不多，也是先研究线性（非线性还是最难的）的一些简单可积情形，然后转向数值（比如有限差分）法、数学变换（拉普拉斯、傅里叶变换）求解法以及级数（包括傅里叶级数）求解法来研究一些著名的通常被称为“数学物理方程”的偏微分方程，一些性质等。

在工程领域，这些东西极其重要。

【教材】

114《偏微分方程》陈祖墀著

115《基础偏微分方程》 丘成桐主编 David Bleecker, George Csordas

比较详细，美国教材嘛。

116《偏微分方程教程》华中师范大学

117《偏微分方程》Evans著

经典教材。

118《常微分方程与偏微分方程》 管志成，李俊杰编

注重两者之间的联系。

【习题集】

119《偏微分方程习题集》沙玛耶夫主编

苏联的，有新版。

课后习题也行。

【提高】

120《Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists》

（《线性偏微分方程手册：工程师和科学家必备》英文版）Andrei D. Polyanin编著

很好的书同[111]一样齐名。虽然是英文，但是相信数学符号都是通用的，英文水平不是很差都能看得明白的何况有强大的网络呢？

九、“数学物理方程”和“数学物理方法”

一般是物理专业、力学、信息等专业的课程。其内容是基本上是“偏微分方程”加上“复变函数”整合而成的一本综合课程。“数学物理方法”相当于“工程数学”的三本（即复变函数，积分变换，场论初步）。

【教材】

121《数学物理方法》Courant-Hilbert著

经典。

122《特殊函数概论》王竹溪,郭敦仁编著

网上对本书的介绍：

有时怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:

“(70年代末)……我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的‘特殊函数概论’……从此这本书就一直在我的书架上……经常在里面寻找我需要的结论……”。

连他老先生都如此,何况我们?

本书是中国人写的书里面足以自豪的一本，王老先生是杨振宁的老师。

123《广义函数与数学物理方程》齐民友著

124《数学物理方程》谷超豪，李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿编著

经典教材。谷超豪教授的作品绝对好。这里插入一些网上的介绍：

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这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.注意那些经典方程的推导里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的稳定性.比如,对于经典的波动方程,3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲方程里面只有波动方有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程的推导里面是有近似的,这说明什么?

据一位北大的师兄说,和复旦的课本相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.

注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书

125《数学物理方程》谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆,???

这书的题材,难度,例题,习题等等和上一本非常接近.特别指出这本书的原因是在复旦的课本中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"习题解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答对于做作业是很有帮助的.

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126《数学物理方法》梁昆淼著

127《数学物理方程讲义》姜礼尚

128《数学物理方程》柯朗著

【习题集】

129《数学物理方程习题集》弗拉基米洛夫编

教材后的习题都行。

【提高】

130《矢算场论札记》梁洪昌著

其实这个不关偏微分方程的事，主要是矢量和场的理论，这对物理专业很有用。结合《数学物理方程》一起使用，会对自身水平有很大帮助。

131《数学物理方程及其应用》吴小庆编著

这个我要说一说，作者有丰富的经验。

132《数学物理方程》 张渭滨

133《数学物理方程与特殊函数》 杨奇林

134《数学物理方法》 郭玉翠

还是上一位学长的介绍：

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135《数学物理方程--方法导引》陈恕行,秦铁虎

是一本非常好的讲习题的书.里面的习题如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了.

136《The Boudary Value Problems of Mathematical Physics》O A. Ladyzhenskaya

很经典.当然你要说它们陈旧我也没话可说.

137《物理学与偏微分方程》李大潜,秦铁虎著

还是很不错的，该书的起点并不高,所以应该比较容易看.据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.

从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.

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138《积分方程》李星编著

对积分方程与代数方程、常微分方程、偏微分方程以及解析函数边值问题的联系作了清晰的介绍。

主要内容包含：各种第一类、第二类Fredholm型、Voherra型线性积分方程和Cauchy核（非周期核）及Hilbert核（单周期核）奇异积分方程的实用解法，还有第三类积分方程的解法；积分方程组、积分微分方程和对偶积分方程以及非线性积分方程的常用有效的解法。介绍了数值解法的过程。其中，双周期核和双准周期核——Weierstrass核奇异积分方程的类型以及对偶积分方程的数值解法、超奇异积分方程和超奇异积分微分方程的简明解析解法等是全新的内容。

139《积分方程论》(修订版) 路见可, 钟寿国编著

本书介绍了积分方程中的Fredholm理论、特征值理论、积分变换理论和投影方法、重点是线性Fredhlom第二种方程，对第一种方程、非线性方程等。

从下一部分开始，除了“组合数学”“数值分析”“数学建模”“数学史” 以外，其他的学科我还没系统深入地学习。因此，本来不打算写这些不是很熟练的部分，但感觉不写就会有缺憾，于是查阅一些网络资料，集合我的一些浅薄经验，来弥补空白。如果介绍不到位，还请见谅。

十、“复变函数”

把实数范围内所学的知识推广到复数范围，还有一些复数方法。

【教材】

140《简明复分析》龚升

写的非常有特色的一本书。

141《复变函数》钟玉泉

上面两本是国内数学系用的最多的书，不过通常会剩下一到两章讲不完。

142《复变函数》余家荣

143《复变函数》大连理工数学系组编

基本理论的推导深入浅出、循序渐进。 强调复变量z和-z的作用，利用其实现变量和复变量之间对于各种关系和公式的互换，突出级数和积分表示方法，这两种方法交替出现成为本书的主线。 适当增加了理论方面的知识。

【习题集与辅导书】

144《复变函数论习题集》沃尔科维斯

145《高等数学例题与习题集.三,复变函数》博亚尔丘克编著

【提高】

资料来自网络：

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146《复变函数(论)引论》普里瓦洛夫

这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句“sin z有界无界?”此人稀里糊涂地回答了一句“有界”,就马上被开回去了,实在是不幸之至.

147《解析函数论(教程)》马库雪维奇

这本厚似砖头的书比上面这本要深不少.张老师说过,以前学复变的学生用2.>做课本,学完后再看3.>,然后就可以开始做研究了.这本书的一个毛病是它喜欢用自己的一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert方程吧!

148《Complex Analysis》(复分析(阿尔福斯)

这应该是用英语写的最经典的复分析教材.Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.他的这本课本从六十年代出第一版开始就好评如潮。有中译本(好象是张驰译的)，记不清了,建议还是看英文的.

这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:

Cauchy--积分公式; Riemann--几何化的处理; Weierstrass--幂级数方法. 这三种方法各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的.

149《解析函数论引论》H.Cartan(亨利.嘉当)

这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物在二十世纪复分析的发展史上也占有很重要的地位.他在多复变领域的很多工作是开创性的.这本课本内容不是很深,从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作

(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))

偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的《复变函数》, 不记得是不是和张南岳合写的。应该是不错的， 习题较多。科大严镇军也有一本《复变函数》也不错。其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏拷贝最多。

在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,还有

150《复变函数论(专题?)选讲》庄圻泰,何育瓒等

应该有两本,比较薄,从Cauchy积分公式的同伦,同调形式讲起,属提高性质。另外一本记忆中就觉得太专门了点。

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十一、“实变函数”

是不是感觉数学分析里面的黎曼积分的适用范围不广？初等的概率论学得不爽？那么这个继“数学分析”之后的更深入的理论，会让你有种全新的观点看待问题。

【教材】

151《实变函数论》周民强

一本非常好的书，比较难懂。写法比较独特。

152《实变函数与泛函分析》夏道行，伍卓人，严绍宗，舒五昌

从上世纪八十年代(1978年第一版出版)我国数学系的标准实变与泛函课本,受益于此书的学生不可胜数。强烈推荐这本和上一本。

153《实变函数》江泽坚，吴志泉

初学实变推荐。

154《实变函数论》那汤松著

155《实分析》程民德,邓东皋著

【习题集与辅导书】

156《实变函数与泛函分析:定理·方法·问题》胡适耕，刘金山编著

157《实变函数论的定理与习题》鄂强著

158《实变函数内容、方法与技巧》孙清华，孙昊著

以上三本必看。

159《实变函数论习题集》捷利亚科夫斯基

不知是否能找到。

160《实变函数论的定理与习题》

记不清是谁写的了,好像某个苏联人。里面有详细的解答,质量相当高。

【提高】

161《实分析中的反例》汪林著

这是本非常非常好的书,在以后的几章里面我们也都要引用这本书.作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!

P.S. [165]也不错。

十二、“泛函分析”

所谓“泛函”，即函数的函数，也可以算得上是一种广义函数吧。

属于分析课程的一个旁支。欧拉等人的建立的基础，主要解决极值问题，引出“变分法”。

【教材】

162《泛函分析讲义》张恭庆著

163《实变函数与泛函分析》夏道行著

很好的书，再推荐一次，虽然有点厚。

164《实变函数与泛函分析概要》郑维行著

165《实变函数与泛函分析》郭大钧等编

【习题集与辅导书】

165《泛函分析习题集及解答》(印度著

印度数学家编写的,有中译本。

166《函数论与泛函分析初步》柯尔莫哥洛夫著

好好看完会有收获。大师的经典名著，包括了实变函数，泛函分析，变分等各方面的内容。

167《泛函分析疑难分析与解题方法》孙清华，孙昊著

168《泛函分析内容、方法与技巧》孙清华, 侯谦民, 孙昊著

P.S. 强烈推荐[156]。另外下面这三本如果能找到，可以翻翻：

《泛函分析概要》刘斯铁尔尼克、索伯列夫

《泛函分析习题集》安托涅维奇

《泛函分析理论习题解答》克里洛夫

【提高】

169《泛函分析中的反例》汪林著

170《泛函分析新讲》定光桂著

171《泛函分析第二教程》夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙著

在直线(或者更一般的局部紧群上),先建立积分理论再导出测度的。

172《Functional Analysis》W. Rudin著

这本书里面也有很多非常有意思的内容。Rudin的书都是很好的。

173《泛函分析:理论和应用:theorie et applications》Haim Brezis著

十三、“高等几何”

脱离欧几里得几何观，眼界大开。又增添了不少几何的数学方法。

【教材】

174《高等几何》梅向明等编

仿射坐标与仿射变换；射影平面；射影变换与射影坐标；变换群与几何学；二次曲线的射影理论；二次曲线的仿射性质和度量性质；一般体(域)上的射影几何；一般体(域)上的仿射几何；实数域上的欧氏几何；几何公理体系。

175《高等几何学习指导与习题选解》梅向明，刘增贤编

176《高等几何》第2版 罗崇善, 庞朝阳, 田玉屏编著

177《高等几何》周建伟编著

本书以变换群的观点为指导思想，以一些重要定理为主线，介绍了平面射影几何的基本知识，努力展示射影、欧氏、仿射、双曲、椭圆等多种几何的丰富内容和内在联系。

十四、“微分几何”

把微积分应用到研究几何曲线（面）的性质上，得到微观的信息，从而能把握整体上的性质。

“微分几何”有“局部微分几何”和“整体微分几何”两种。

【教材】

178《微分几何》第4版 梅向明, 黄敬之编

179《微分几何初步》 陈维桓著

180《微分几何》彭家贵著

181《微分几何》周建伟著

182《微分几何》苏步青,胡和生等编著

这书写得不错,至少比北大陈维桓的那本《微分几何初步》要好多了。

183《微分几何》 苏步青 原著 姜国英 改写

就是那本黄颜色封面的。

这本书的原版据说晦涩难懂，但即使改写以后，根据潘老师的讲法，看起来也比较费劲。印象比较深的有，书中单独的一节讲了Bertrand曲线，对于等周问题，该书也给出了好几种不同的证法。（最近的几期美国数学月刊里，对于该问题也集中给出了几个比较初等的证明和若干相关命题）另外，该书的一个特色是几乎每道练习题都附有最先证明该命题的人名和时间。使人能够感受到微分几何发展的脉搏。

184《微分几何》陈省身

陈省身就是搞微分几何而著名的，应该读读。

185《微分几何讲义》吴大任

【习题集与辅导书】

186《微分几何100例》姜国英,黄宣国

确实是一本很好的书，这本书很薄，里面的题目全部做下来的话，应付期末考试绝对是没有问题的。而且,如果老师有心考点难题的话,说不定就会有里面的题目。不过提醒一点的是，在看解答的时候最好先自己想一想，因为书中有些题目的解法并不是最简洁的。

187《微分几何习题集》杨文茂,傅朝金,程新跃编著

188《微分几何理论与习题》里普希茨

189《微分几何学习指导与习题选解》梅向明，王汇淳编

【提高】

190《Differential Geometry of Curves and Surfaces》

这是本绝对的好书，有中译本。

191《微分几何五讲》苏步青著

192《微分几何讲义》丘成桐，孙理察著

193《微分几何入门与广义相对论》梁灿彬，周彬著

本来是物理专业用的，可以看看。

十五、“拓扑学”

拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。

资料选自网络：

194《拓扑学》李元熹,张国(木梁)

前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作.

195《基础拓扑学》尤承业

是北大的教材.

196《Lecture notes on elementary topology and geometry》 I.M.Singer, J.A.Thorp

(中译本“基础?几何学与拓扑学讲义”,干丹岩译)

这是本极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义.

【辅导书】

197《点集拓扑讲义》熊金城

是比较好的.该书也有些名气.

不过要好好学,可能还是看下面的两本比较经典的书:

198《General Topology》(GTM 27. Kelley

此书名头很响,55年出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果做了个好的总结.该书是想写成课本的,因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...编号.只是真要做起来未免有些困难.听说过这样一个故事,就是曾有一位华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的书,而且要习题全做.结果大家都笑了,因为大家都明白这目标不是很现实.不过在陷入各类考试的重围中的那个学期之前,做前面两三章的题目，虽然比较困难,但是做起来也是非常有趣的.

【习题集】

199《点集拓扑学题解与反例》陈肇姜

200《几何学与拓扑学习题集》巴兹列夫

忽视几何,包括解析几何，微分几何，拓扑学，会后悔的。

【提高】

201《General Topology》R.Engelking

这书是七十年代末写的,内容翔实,至少来说是有包罗万象的感觉,当然对做这一块的人就不一定了.这里属于代数拓扑的起始部分,参考书一下子就比前面的多多了.讲代数拓扑的书,可能

202《Lectures on Algebraic Topology》Greenberg

属于写得很通俗易懂,配置合理的那一类.

203《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著

这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定数量的有启发性的题目。

204《基础拓扑学》 M.A.Armstrong

也是一本不错的书。

该书中的讨论有很多是基于Hausdorff空间，有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。

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十六、“近世代数”

部分关键词：群、环、域、模等等。这门学科是从群论开始发展起来的，内容相当丰富，方向也多。不过我是不怎么感兴趣。有意思的是，我们高数老师曾经读的是这个方面的研究生，当然，他是搞密码学的。

【教材】

资料来自网络：

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205《近世代数引论》冯克勤

206《代数学》(上,下) 莫宗坚

北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看过,但是感觉不错。北大的一些同学对此书推崇倍至。

207 《近世代数》熊全淹

这本书的好坏不敢评论,不过这本书有个很大的特点,就是作者收集了很多小文章,比如许多American Mathematical Monthly上的短文.依他开列的参考文献到系资料室去找,可以看到很多有趣的东西。

208《近世代数》盛德成

209《代数学引论》丁石孙，聂灵沼

这本书的特点和北大的那本《高等代数》一样,就是没什么自己的特色,原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了。

【习题集】

210《抽象代数--方法导引》徐诚浩

这本书可以说比较适合在复旦学这门课.

【提高】

211《Algebra》S.Lang

Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过AMS发的Steel优秀图书奖.

其它的就是比较专门的东西了，比如群论就有影响过无数学者的。再有像(群,代数)表示论,环论,模论等等，都有专著。

对于Galois理论,有一本

212《伽罗华理论》E.Artin

非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.

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十七、“离散数学”

一般是计算机或信息专业的课程。不同课本可能内容不一样，无非就是图论、拓扑、组合（包括组合设计、组合计数）、数理逻辑、数值分析、集·合论、数论、抽象代数、算法分析等，这些范畴当中的几个综合在一起的一门课程。

建议分开学（来自网络）：

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213《基础集合论》北师大

214《面向计算机科学的数理逻辑》陆钟万

215《图论及其算法》王树禾

216《图论及其应用》Bondy ，Murty

217《离散数学》耿素云，屈婉玲

课外可看看：

218《具体数学》格拉厄姆，高德纳等

219《Introduction to Algorithms》 Corman

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十八、“组合数学”

分为组合计数和组合设计两个方面，以计数为重。

下面推荐基本我看过觉得比较好的几本：

220《近代组合学》王天明编著

符号系统用的是集合、代数的，比较高等，但是内容全面，尤其是习题很好。

221《组合学笔记》康庆德著

感觉看不习惯本书的符号系统。不过内容还是不错。

222《组合学讲义》李乔著

经典教材。

其实还有像图灵数学里面有些组合学的书不错，各种教材差别比较大，有的书很详细另外的却深奥。另外还有组合设计方面的就不说了。

十九、“数值分析”

计算数学方向传统的科目是数值逼近，数值代数，数值优化，微分方程数值解法。数值逼近，数值代数，微分方程数值解法合称数值分析，数值优化和运筹学有点像。

比较好的书有：

223《数值分析基础》关治，陆金甫著

很全面，除了没有偏微分方程的数值解这个内容外，其他该有的都有。

224《数值分析》李庆扬，王能超，易大义

应用数学专业都是用这本。

225《数值方法》关治，陆金甫编著

226《数值分析方法》奚梅成

227《数值计算方法》林成森

228《数值分析:mathematics of scientific computing》(美)David Kincaid，Ward Cheney著

229《计算方法典型例题分析》孙志忠编著

我买了一本，还不错。

二十、“数学建模”

数学建模是数学应用在实际问题中最为鲜明的例子，不过用用到很多知识，包括基本的数学分析知识，还有逻辑、优化（运筹）、图论、数值、线性代数（含矩阵）、方程（代数、超越、（偏）微分等方程）、概率统计、组合计数、组合设计，等等。有不少书，但都是案例教学，看起来不像其他课那么严密有数学味。不过也有教的很系统的（由于要用到的知识多，因此只能是大略介绍，不可能详细）。

下面是我看过的觉得比较好的几本：

230《数学建模与数学实验.第3版》赵静, 但琦主编

231《数学建模及其基础知识详解》王文波编著

232《数学建模方法及其应用》韩中庚编著

233《数学建模》Maurice D. Weir, (美) William P. Fox著

二十一、“数学史”

研究历史，就能总结经验，从而指导和警示正在做研究的人们。另外，这些历史也是一些有趣的故事，不断地吸引着那些欲探求数学密境的求知者们……

下面是我看过的一些觉得比较好的（其中有一些书是专门论述中国古代算学，天文算学，还有中西方比较，以及中国古代数学思想方法的，这些属于数学专门范畴，故不列）：

234《数学史通论》VICTOR J.KATZ（凯兹）著

很详细。

235《世界数学通史》梁宗巨著

书比[234]要厚，比较全面。作者未完成著作便离开人世了，后由其学生帮助完成剩下的一点。

236《数学史》斯科特著

买了一本，作者（包括译者）文笔不错。

237《数学史》朱家生著

238《数学史概论》李文林著

239《数学简史》张红主编

240《数学演义》王树禾著

以故事形式来写的。

其实数学整个学科涵盖面非常广泛(类似诸多专门课题领域、交叉学科领域、学科边缘领域等等)，以上只是尽量给出一些最常见的。剩余还有很多：数理逻辑、数论、运筹学、算法分析、密码学……随着学习的深入，你会不断地去了解和接触到越来越多的方面。

附录 数学软件

列出最常见的：

1 matlab

以数值计算见长，工程人员的必备工具。不过看起来软件功能的优化速度远远超过硬件厂商的“升级”速度——最新版的matlab在中上等配置的机器上进行大量数据运时还不是十分流畅。

一般数学建模都是用这个。

2 maple

以符号运算见长。数学理论推导的好帮手。不过界面不怎么好看(谁在乎呢？只要实用就行)。

3 mathematic

[1]和[2]优点的结合品，一般用于“数学实验”部分的教学。虽然是结合品，但单一功能(无论是数值还是符号计算)肯定不如相应的专长软件。

4 scilab

中法合作的开源、免费数学软件。很多科学家都用这个，有事小有名气。

5 其他专门软件像SARS SPSS等。

经济专业的学生可能会用到这些数值拟合等数据分析的软件。

6 Microsoft Math

微软出的一款数学软件，功能足够大学中低年级以下的人员使用，比较方便。不过没以上几个有名。

其他的还有很多，就先说这些吧。会用一些软件，在今后的学习中会感到很方便。