admin 微积分是A-level数学的重要部分，与微分相关的技巧相对简单。主要包括基本构图公式、与车累计的构图法则、chain rule等微分技巧。除了基本积分公式外，积分还有很多相关的积分技术，如reverse chain rule、by substitution、trigonometric identities、partial fraction、integration等。另外，三角函数积分是积分问题的重要组成部分。
下面我们就来总结一下三角函数相关的积分技巧。首先，我们说“一次”的三角函数，包括sin x, cos x, tan x, cot x, sec x,cosec x. 大家首先要知道这六个三角函数可以直接求积分的，即如下积分公式：
而且大家要知道tan x 和cot x 求积分时涉及到如下积分技巧：
例如：
同样cot x的积分大家可以用同样的方法自己推导一下。
下面我们说“二次”的三角函数，主要包括sin2 x, cos2 x, sinxcosx, tan2x,cot2x, sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx。
前三个积分主要涉及到二倍角公式和reverse chain rule，如：
同样的方法可以得到：
而sinxcosx的积分用到sin2x的展开式，即：
接下来我们知道 sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx 的积分是可以直接用积分公式的，即：
而 tan2 x 与 sec2 x,cot2x 与 cosec2 x 有重要的恒等关系式： tan2x=sec2x-1 ； cot2x=cosec2 x-1 ，所以 tan2 x 与 cot2 x 的积分可以直接转化为 sec2 x 与 cosec2 x 进而求解。
下面要说的三角函数积分也是“二次”的，但上面的技巧并不能解决这类问题，而要用到积化和差的技巧。例如求sin3xcos2x的积分，我们知道sin(3x+2x)=sin3xcos2x+cos3xsin2x,sin(3x-2x)=sin3xcos2x-cos3xsin2x，两式相加右边即可得到2sin3xcos2x, 而左边等于sin5x+sinx, 这样sin3xcos2x的积分就转化为求1/2(sin5x+sinx)的积分，即“积化和差”，本质上是利用正弦或余弦的和差角展开公式。同样的方法大家可以试求下sin5xsin2x, cos3xcosx的积分。
最后要说的三角函数积分问题主要涉及到下面的两类积分技巧：
第一种类型我们刚才在求tan x和co tx积分时已经讲过，第二种类型如：
求cosxsin3x的积分，我们知道sin x求导是cos x, 所以原积分等于1/4sin4x，如果不太理解可以反过来求导试试。下面的例题可供大家进一步练习：
总结了这么多，是否觉得思路上清晰了很多呢？相信大家以后再遇到三角函数积分问题就可以胸有成竹的面对了，不必害怕，重在总结和练习。